klevero

Çok yakında

AYT Geometri

Analitik Düzlemde Temel Dönüşümler (Öteleme, Yansıma, Döndürme)

Dönüşümler · 12. sınıf

Klevi Matematik Atölyesi · Klevero ekibi · yapay zekâ destekli · Güncellendi:

Kazanımlar

  • 12.4.1.1 Analitik düzlemde koordinatları verilen bir noktanın öteleme, dönme…
  • 12.4.1.2 Temel dönüşümler ve bileşkeleriyle ilgili problem çözer.

Konu Özeti

Bu konuda düzlemdeki noktaların ve grafiklerin öteleme, yansıma ve döndürme ile nasıl taşındığını öğreneceksin. Bu dönüşümlerin hepsi şekli bozmadan yer değiştirir, bu yüzden izometri olarak adlandırılır. Dönüşüm kuralını bilmek, koordinat düzleminde işlemi hızlı ve hatasız yapmanı sağlar. AYT'de bu konu nokta, doğru ve parabol üzerinde karışık sorularla çıkar.

Temel Kavramlar

Öteleme: Düzlemdeki her noktayı aynı yönde ve aynı miktarda kaydırmaya öteleme denir. Öteleme vektörü (a, b) ise A(x, y) noktası A'(x + a, y + b) noktasına gider. Öteleme uzunluğu ve açıları korur.

A(x, y) → A'(x + a, y + b)

Bir fonksiyonun grafiği (a, b) kadar ötelenirse yeni grafik y − b = f(x − a) olur. Aşağıdaki diyagramda y = x² parabolünün tepe noktasının (2, 1) kadar ötelenmesini görebilirsin.

Parabolün ötelenmesi
y = x² parabolü (2, 1) kadar ötelenince tepe noktası O(0, 0) yerine P(2, 1) olur ve yeni denklem y − 1 = (x − 2)² olur.

Temel Kavramlar

Yansıma: Bir doğruya göre yansıma, noktayı doğrunun öbür tarafında ve doğruya eşit uzaklıkta bir noktaya taşır. Yansıma yönelimi değiştirir, uzunluk ve açı ölçüsünü korur. Aşağıdaki tabloda sık kullanılan yansıma kurallarını bulabilirsin.

Yansıma(x, y) noktasının görüntüsü
x eksenine göre(x, −y)
y eksenine göre(−x, y)
Orijine göre(−x, −y)
y = x doğrusuna göre(y, x)
y = −x doğrusuna göre(−y, −x)
x = a doğrusuna göre(2a − x, y)
y = b doğrusuna göre(x, 2b − y)
P(a, b) noktasına göre(2a − x, 2b − y)
y = x doğrusuna yansıma
A(2,3) noktasının y = x doğrusuna göre yansıması A'(3,2) noktasıdır. İki nokta doğruya eşit uzaklıktadır.

Sık yapılan hata: y = −x doğrusuna göre yansımada (−x, −y) yazmak. Doğrusu (−y, −x) olur. (−x, −y) ise orijine göre yansımadır.

Temel Kavramlar

Döndürme: Orijin merkezli döndürmelerde pozitif yön saat yönünün tersidir. Döndürme, noktanın orijine uzaklığını korur. Aşağıdaki tablo sık kullanılan açıları gösterir.

Orijin etrafında döndürme (saat yönünün tersi)(x, y) noktasının görüntüsü
90°(−y, x)
180°(−x, −y)
270° (saat yönünde 90°)(y, −x)
360°(x, y)

Merkezi P(a, b) olan döndürmede önce P orijine gelecek şekilde öteleme yapılır, döndürme uygulanır ve sonra geri ötelenir. P(a, b) etrafında 90° döndürmede kural şöyledir.

P(a, b) merkezli 90° döndürme: (x, y) → (a − y + b, b + x − a)

  • Öteleme, yansıma ve döndürme uzunluğu korur (izometri).
  • Yansıma yönelimi değiştirir; öteleme ve döndürme yönelimi değiştirmez.
  • Ardışık iki yansıma eksenler paralelse öteleme, kesişiyorsa döndürme verir.
  • Kesişen eksenler arasındaki açı θ ise bileşke döndürme açısı 2θ olur.

Notun devamı (Klevero uygulamasında)

  • Adım Adım Örnekler
  • Sık Yapılan Hatalar
  • Mini Özet Tablo
  • Kontrol Soruları