Çemberin Analitik İncelenmesi: Denklem, Doğru-Çember Durumları ve Teğet

Konu Özeti

Çember, düzlemde bir merkeze eşit uzaklıktaki noktaların kümesidir. Analitik geometride çemberi denklemle, doğruyu da denklemle tanımlarız; böylece aralarındaki ilişkiyi cebirle inceleyebiliriz. Bu konuda merkez ve yarıçapı okumayı, genel denklemi standart biçime getirmeyi ve doğru ile çemberin durumunu belirlemeyi öğreneceksin. AYT'de bu konu teğet ve kiriş soruları ile sık sorulur.

Temel Kavramlar

Merkezi M(a, b) ve yarıçapı r > 0 olan çemberin denklemi aşağıdaki gibidir. Bir (x, y) noktası bu denklemi sağlıyorsa çember üzerindedir.

(x − a)² + (y − b)² = r²

Merkez orijinde ise a = b = 0 olur ve denklem x² + y² = r² hâline gelir. Aşağıdaki şekilde merkezi (3, −2) ve yarıçapı 5 olan çember görülmektedir.

Genel Denklem

x² + y² + Dx + Ey + F = 0

• Merkez: M(−D/2, −E/2)
• Yarıçap: r = ½√(D² + E² − 4F)
• Çember olması için D² + E² − 4F > 0 olmalıdır.
• D² + E² − 4F = 0 ise denklem yalnızca tek bir noktayı gösterir.
• D² + E² − 4F < 0 ise denklem boş kümeyi gösterir.
• x² ve y² katsayıları eşit olmalı, xy terimi bulunmamalıdır. Katsayılar 1 değilse önce bölünür.

Özel Durumlar

Doğru ile Çemberin Durumu

Merkezi M(a, b), yarıçapı r olan çember ile Ax + By + C = 0 doğrusu için merkezin doğruya uzaklığı h hesaplanır ve r ile karşılaştırılır.

h = |Aa + Bb + C| / √(A² + B²)

Kesişim noktaları, doğru denklemi çember denkleminde yerine yazılarak elde edilen ikinci dereceden denklemin köklerinden bulunur. Δ < 0 ise kesişim yoktur, Δ = 0 ise teğettir, Δ > 0 ise iki noktada keser. Kiriş uzunluğu |AB| = 2√(r² − h²) ile hesaplanır.

Teğet Doğruları

• Teğet, değme noktasında yarıçapa diktir; eğimler çarpımı −1 olur.
• x² + y² = r² çemberinin üzerindeki P(x₀, y₀) noktasındaki teğet: x₀x + y₀y = r²
• Çember dışındaki bir noktadan çemberin iki teğeti çizilebilir.
• Verilen eğimde teğet y = mx + n için h = r koşulundan n bulunur; genelde iki teğet vardır.

y = mx + n doğrusu x² + y² = r² çemberine teğet ⇔ n² = r²(1 + m²)