Doğrunun Analitik İncelenmesi (AYT Geometri)

1. İki Nokta Arasındaki Uzaklık (11.2.1.1)

Analitik düzlemde A(x₁, y₁) ve B(x₂, y₂) noktaları arasındaki uzaklık, dik üçgende Pisagor teoremi uygulanarak bulunur: yatay fark |x₂ − x₁|, düşey fark |y₂ − y₁| olan dik üçgenin hipotenüsüdür.

|AB| = √[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²]

• Orijine uzaklık: |OA| = √(x₁² + y₁²).
• Noktalar x eksenine paralel doğru üzerindeyse uzaklık |x₂ − x₁|, y eksenine paralelse |y₂ − y₁| olur.
• Üçgenin kenar uzunlukları bu formülle bulunur; eşit kenar, Pisagor bağıntısı gibi koşullarla ikizkenar, eşkenar ve dik üçgen kontrolü yapılır.
• Bir nokta iki noktadan eşit uzaklıktaysa |PA| = |PB| eşitliği kurulur; karelerle çalışmak kök işleminden kurtarır.

Örnek: A(1, 2), B(4, 6) için |AB| = √(3² + 4²) = 5. P(x, 0) noktası A(1, 2) ve B(3, 4) noktalarından eşit uzaklıktaysa: (x−1)² + 4 = (x−3)² + 16 → −2x + 5 = −6x + 25 → 4x = 20 → x = 5. Yani P(5, 0).

2. Doğru Parçasını Belli Oranda Bölen Nokta (11.2.1.2)

A(x₁, y₁), B(x₂, y₂) olsun. C noktası [AB] üzerinde (içten) |AC| / |CB| = m/n oranında bölüyorsa koordinatlar şöyledir:

C = ( (n·x₁ + m·x₂)/(m + n) , (n·y₁ + m·y₂)/(m + n) )

• Orta nokta (m = n): M = ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2).
• Dıştan bölme: C, [AB] doğrusu üzerinde ama doğru parçasının dışında ve |CA| / |CB| = m/n (m ≠ n) ise C = ( (n·x₁ − m·x₂)/(n − m) , (n·y₁ − m·y₂)/(n − m) ) olur. Dıştan bölmede C, oranın küçük olduğu uca daha yakındır.
• Üçgenin ağırlık merkezi G = ((x₁ + x₂ + x₃)/3, (y₁ + y₂ + y₃)/3).
• Paralelkenarın köşegenlerinin orta noktaları aynıdır; eksik köşe bu eşitlikle bulunur.

Örnek: A(−2, 1), B(8, 6) ve |AC| / |CB| = 2/3 ise C = ((3·(−2) + 2·8)/5, (3·1 + 2·6)/5) = (2, 3). Sık yapılan hata: oranı çaprazlama yapmayı (n ile x₁ çarpımını) karıştırmak; yakın uca ait ağırlığın diğer uca ait oran olduğunu hatırla.