Logaritma Fonksiyonu: Tanım, Özellikler ve Problemler

Konu Özeti

Logaritma, üstel fonksiyonun tersidir ve bir sayının belirli bir tabana göre üssünü bulmamızı sağlar. Bu konu, üstel fonksiyon ile ilişkisi üzerinden tanımlanır. Taban 10 ve e olduğunda özel adları ve gösterimleri vardır. Logaritmanın özellikleri karmaşık işlemleri ve denklemleri çözmemizi kolaylaştırır. AYT'de üstel ve logaritmalı denklem ve eşitsizlikler sık sorulur.

Temel Kavramlar

a > 0 ve a ≠ 1 olmak üzere f(x) = aˣ üstel fonksiyonu R'den (0, ∞)'a birebir ve örtendir. Bu nedenle tersi vardır ve bu ters fonksiyona logaritma fonksiyonu denir.

y = logₐx ⇔ aʸ = x (a > 0, a ≠ 1, x > 0)

• Tanım kümesi (0, ∞), değer kümesi R'dir.
• logₐx ifadesinde taban a > 0 ve a ≠ 1, logaritması alınan sayı x > 0 olmalıdır.
• a > 1 ise fonksiyon artan, 0 < a < 1 ise azalandır.
• Grafiği y = x doğrusuna göre aˣ grafiğinin simetriğidir; (1, 0) noktasından geçer.
• logₐ1 = 0, logₐa = 1, logₐaⁿ = n.

Taban 10 ve e için özel gösterimler

log x = y ⇔ 10ʸ = x ln x = y ⇔ eʸ = x

• log 1 = 0, log 10 = 1, log 100 = 2, log 0,1 = −1.
• ln 1 = 0, ln e = 1, ln eⁿ = n.
• eˡⁿˣ = x (x > 0) ve ln(eˣ) = x.
• Basamak sayısı: n basamaklı pozitif bir N için n = ⌊log N⌋ + 1.