Gerçek Sayı Dizileri: Aritmetik ve Geometrik Diziler

Konu Özeti

Dizi, doğal sayılar kümesinde tanımlı bir fonksiyondur ve sıralı sayılar listesi gibi düşünülebilir. Bu konuda iki özel tür öne çıkar: ardışık terimler arasındaki fark sabit olan aritmetik diziler ve oranı sabit olan geometrik diziler. Genel terim, indirgeme bağıntısı, ilk n terimin toplamı ve ortadaki terim özellikleri bu iki dizi türü üzerinden çözülür. Konu, AYT'de sık sorulan örüntü ve problem sorularının temelidir.

Temel Kavramlar

Tanım kümesi doğal sayılar (ℕ⁺ = {1, 2, 3, …}) olan ve değer kümesi gerçek sayılar olan fonksiyona gerçek sayı dizisi denir. a: ℕ⁺ → ℝ, n → aₙ biçiminde gösterilir; aₙ'ye genel terim, n'ye terimin sırası denir.

• Dizi sıralı bir fonksiyondur: her n için tek bir aₙ değeri vardır.
• a₁ ilk terim, a₂ ikinci terimdir.
• Sabit dizide her n için aₙ = c olur.
• Sonlu dizinin tanım kümesi {1, 2, …, k} biçimindedir.
• Dizinin grafiği, bir doğrunun ya da eğrinin üzerindeki ayrık noktalardan oluşur.

Genel terim verilirse n yerine sıra yazılır. İndirgeme bağıntısı verilirse ilk terimden başlanarak terimler sırayla hesaplanır.

aₙ = 3n − 2 ⇒ a₁ = 1, a₂ = 4, a₃ = 7

a₁ = 2, aₙ₊₁ = 2aₙ + 1 ⇒ a₂ = 5, a₃ = 11, a₄ = 23

Sık yapılan hata: aₙ = (−1)ⁿ·n dizisinde işareti unutmayın. a₁ = −1, a₂ = 2, a₃ = −3 olur. Bir değerin dizide olup olmadığını anlamak için aₙ = değer denklemini çözün; n pozitif tam sayı çıkmalıdır.

Aritmetik Dizi

Ardışık iki terimin farkı sabitse dizi aritmetiktir: aₙ₊₁ − aₙ = d (ortak fark). d > 0 ise dizi artan, d < 0 ise azalan, d = 0 ise sabit dizidir.

aₙ = a₁ + (n − 1)d

aₙ = aₖ + (n − k)d

Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2 = n[2a₁ + (n − 1)d]/2

• Üç terimli aritmetik dizide ortadaki terim, yanındakilerin aritmetik ortalamasıdır: 2b = a + c.
• Başa ve sona eşit uzaklıktaki terimlerin toplamı birbirine eşittir: a₁ + aₙ = a₂ + aₙ₋₁ = …
• Üç terimi a − d, a, a + d biçiminde almak işi kolaylaştırır.
• Sₙ − Sₙ₋₁ = aₙ (n ≥ 2) ve a₁ = S₁ bağıntıları genel terim bulmada kullanılır.

Geometrik Dizi

Sıfırdan farklı terimli bir dizide ardışık iki terimin oranı sabitse dizi geometriktir: aₙ₊₁ / aₙ = r (ortak çarpan). a₁ > 0 iken r > 1 terimleri artırır, 0 < r < 1 ise azaltır; r < 0 ise işaretler dönüşümlü olur.

aₙ = a₁ · rⁿ⁻¹

aₙ = aₖ · rⁿ⁻ᵏ

Sₙ = a₁(rⁿ − 1)/(r − 1) (r ≠ 1); r = 1 ise Sₙ = n · a₁

• Üç terimli geometrik dizide b² = a · c (ortadaki terimin karesi, yanındakilerin çarpımı).
• Eşit uzaklıktaki terimlerin çarpımı birbirine eşittir: a₁ · aₙ = a₂ · aₙ₋₁ = …
• Üç terimi a/r, a, a · r biçiminde almak kolaylık sağlar.
• Terimlerin işaretinin değişmesi için r < 0 olmalıdır.