Toplam-Fark ve İki Kat Açı Formülleri (AYT Trigonometri)

Konu Özeti

Toplam-fark ve iki kat açı formülleri, iki açının trigonometrik değerleri arasındaki ilişkiyi kurar. Bu formüllerle 15°, 75°, 105° gibi özel olmayan açıların sin, cos ve tan değerlerini 30°, 45°, 60° gibi bilinen açılardan bulabilirsin. İki kat açı formülleri ise sin 2x ve cos 2x gibi ifadeleri sadeleştirmeye yarar. AYT'de bu formüller genellikle değer bulma ve ifade sadeleştirme sorularında karşına çıkar.

Temel Kavramlar

Toplam ve fark formülleri, iki açının toplamı ya da farkının trigonometrik değerini bu açıların ayrı ayrı değerleriyle ifade eder. Formülleri ezberlemek yerine işaret kuralını anlamak daha kalıcı olur.

sin(a + b) = sin a·cos b + cos a·sin b

sin(a − b) = sin a·cos b − cos a·sin b

cos(a + b) = cos a·cos b − sin a·sin b

cos(a − b) = cos a·cos b + sin a·sin b

tan(a + b) = (tan a + tan b) / (1 − tan a·tan b)

tan(a − b) = (tan a − tan b) / (1 + tan a·tan b)

İşaret kuralı: sin formülünde işaret korunur (+ → +, − → −). cos formülünde işaret değişir (+ → −, − → +). Sık yapılan hata: sin(a + b) = sin a + sin b yazmak yanlıştır.

Özel Açı Değerleri

Çözümlü örnek: sin 75° = sin(45° + 30°) = sin45°·cos30° + cos45°·sin30° = (√2/2)(√3/2) + (√2/2)(1/2) = (√6 + √2)/4.

İki Kat Açı Formülleri

Toplam formüllerinde a = b alınırsa iki kat açı formülleri elde edilir. Örneğin sin 2a = sin(a + a) = sin a·cos a + cos a·sin a = 2 sin a cos a olur.

sin 2a = 2·sin a·cos a

cos 2a = cos²a − sin²a = 2cos²a − 1 = 1 − 2sin²a

tan 2a = 2·tan a / (1 − tan²a)

Yararlı Dönüşümler

1 + cos 2a = 2cos²a ve 1 − cos 2a = 2sin²a

• cos²a = (1 + cos 2a)/2 ve sin²a = (1 − cos 2a)/2 şeklinde derece düşürmede kullanılır.
• sin a·cos a göründüğünde (1/2)·sin 2a diye düşün.
• cos²a − sin²a göründüğünde cos 2a diye düşün.
• sin²a + cos²a = 1 özdeşliğiyle birlikte kullanıldığında çoğu sadeleştirme kolaylaşır.