Belirsiz İntegral: Temel Kurallar ve Değişken Değiştirme

Konu Özeti

Belirsiz integral, bir fonksiyonun türevi verildiğinde o fonksiyonu geri bulma işlemidir. Türev almanın tersi olduğu için integral kuralları türev kurallarından doğrudan çıkar. Sonuca her zaman bir integral sabiti c eklenir, çünkü sabit farkı olan fonksiyonların türevleri aynıdır. Bu konuda iki beceri öne çıkar: temel kuralları uygulamak ve uygun u dönüşümüyle değişken değiştirme yapmak.

Temel Kavramlar

F'(x) = f(x) olacak şekilde bir F fonksiyonuna f'nin ters türevi (ilkel fonksiyonu) denir. f'nin tüm ters türevlerinin kümesine f'nin belirsiz integrali denir ve ∫f(x)dx ile gösterilir. Ters türevler birbirinden yalnızca sabit kadar farklıdır; bu yüzden sonuca daima + c eklenir.

F'(x) = f(x) ise ∫f(x)dx = F(x) + c

• İntegral ile türev birbirinin tersidir: (∫f(x)dx)' = f(x)
• ∫f'(x)dx = f(x) + c
• d(∫f(x)dx) = f(x)dx
• c sabitine integral sabiti denir; başlangıç koşulu verilirse c bulunur.

Değişken değiştirme: İntegrali içindeki bir ifade ile onun türevi çarpım halinde bulunuyorsa u = g(x) dönüşümü yapılır. Bu durumda du = g'(x)dx olur, integral u cinsinden alınır ve sonunda u yerine g(x) yazılır.

∫f(g(x))·g'(x)dx = ∫f(u)du = F(u) + c = F(g(x)) + c

Aynı türevli eğriler: F(x) = x² + c ailesi, c sabiti eğriyi düşey yönde öteler.