AYT Matematik

Anlık Değişim Oranı ve Türev (AYT) Konu Notu

Türev · 12. sınıf

Klevi Matematik Atölyesi · Klevero ekibi · yapay zekâ destekli · Güncellendi: 18 Ekim 2026

Kazanımlar

12.5.2.1 Türev kavramını açıklayarak işlemler yapar.
12.5.2.2 Bir fonksiyonun bir noktada ve bir aralıkta türevlenebilirliğini değerlendirir.
12.5.2.3 Türevlenebilen iki fonksiyonun toplamı, farkı, çarpımı ve bölümünün türevine ait kurallar…
12.5.2.4 İki fonksiyonun bileşkesinin türevine ait kuralı (zincir kuralı) oluşturularak türev hesabı yapar.

Konu Özeti

Anlık değişim oranı, bir fonksiyonun belirli bir noktadaki değişim hızını ölçer. Bu hız, ortalama değişim oranının limiti olarak tanımlanır ve türev adını alır. Türev; teğet denklemi, hareket problemleri ve en büyük-en küçük değer problemleri gibi birçok alanda kullanılır. Bu notta türevin tanımı, türevlenebilirlik, türev kuralları ve zincir kuralı adım adım ele alınmaktadır.

Temel Kavramlar

f fonksiyonunun x değeri a'dan x'e değişirken ortalama değişim oranı [f(x) − f(a)] / (x − a) ifadesidir. x, a'ya yaklaşırken bu oranın limiti varsa, bu limit f'nin a noktasındaki anlık değişim oranı yani türevidir.

f'(a) = lim(x→a) [f(x) − f(a)] / (x − a) = lim(h→0) [f(a+h) − f(a)] / h

Geometrik anlam: f'(a), y = f(x) eğrisinin (a, f(a)) noktasındaki teğetinin eğimidir.
Teğet denklemi: y − f(a) = f'(a)(x − a).
Normal doğrunun eğimi (f'(a) ≠ 0 ise) −1 / f'(a) olur.
Fiziksel anlam: konum fonksiyonu s(t) ise anlık hız v(t) = s'(t), ivme a(t) = v'(t) = s''(t).

f(x)=x² parabolü ile (3,9) noktasındaki teğet y=6x−9 doğrusu gösterilmiştir; teğet, eğrinin bu noktadaki eğimini verir. — Teğet doğrusu

Türevlenebilirlik: f, a noktasında türevlenebilirdir ancak ve ancak soldan ve sağdan türevler vardır ve eşittir.

f'(a⁻) = lim(x→a⁻) [f(x) − f(a)] / (x − a) = f'(a⁺) = lim(x→a⁺) [f(x) − f(a)] / (x − a)

Türevlenebilir fonksiyon süreklidir. Ancak sürekli her fonksiyon türevlenebilir değildir.
Süreksiz noktada fonksiyon türevlenemez.
Köşe noktası, düşey teğet ve sıçrama noktalarında türev yoktur.
Kapalı [a, b] aralığında türevlenebilirlik için (a, b) açık aralığında türevlenebilir olunmalı ve uç noktalarda sağdan ve soldan türev bulunmalıdır.
Parçalı fonksiyonlarda birleşim noktasında önce süreklilik (sol limit = sağ limit = f(a)), sonra sol ve sağ türevlerin eşitliği kontrol edilir.

y=|x| grafiği x=0 noktasında köşe yapar; bu noktada sol ve sağ türevler farklı olduğu için türev yoktur. — Köşe noktası

Türev kuralları: f ve g türevlenebilir fonksiyonlar olmak üzere aşağıdaki kurallar geçerlidir.

Kural	Formül
Toplam / fark	(f ± g)' = f' ± g'
Çarpım	(f·g)' = f'·g + f·g'
Bölüm	(f/g)' = (f'·g − f·g') / g² (g ≠ 0)
Sabit çarpan	(c·f)' = c·f'

f(x)	f'(x)
c (sabit)	0
xⁿ	n·xⁿ⁻¹
sin x	cos x
cos x	−sin x
eˣ	eˣ
ln x	1/x
√x	1 / (2√x)

Zincir kuralı: f ve g türevlenebilir ise bileşke fonksiyonun türevi, dıştaki fonksiyonun türevinin içteki fonksiyonda hesaplanıp içteki fonksiyonun türeviyle çarpılmasıdır.

(f∘g)'(x) = f'(g(x)) · g'(x)

Özel durum: [f(x)]ⁿ ifadesinin türevi n·[f(x)]ⁿ⁻¹·f'(x) olur.
Zincir kuralında y = f(u), u = g(x) ise dy/dx = (dy/du)·(du/dx).
(√f(x))' = f'(x) / (2√f(x))

Notun devamı (Klevero uygulamasında)

Adım Adım Örnekler
Sık Yapılan Hatalar
Mini Özet Tablo
Kontrol Soruları