AYT Matematik: Limit ve Süreklilik Konu Notu

Konu Özeti

Limit, bir fonksiyonun bir noktanın çevresinde nasıl davrandığını inceleyen temel kavramdır. Bu konuda soldan ve sağdan limit, limit özellikleri ve belirsizlik çözme yöntemleri öğrenilir. Süreklilik ise limit ile fonksiyon değerinin aynı noktada eşit olup olmadığını inceler. AYT'de hem limit hesabı hem de parametre içeren süreklilik soruları sık çıkar.

Temel Kavramlar

x değişkeni a sayısına a’ya eşit olmadan yaklaşırken f(x) değerleri bir L sayısına yaklaşıyorsa, L sayısına f fonksiyonunun a noktasındaki limiti denir. Limit f(a) değerine değil, a’nın çevresindeki davranışa bakar. Bu yüzden f(a) tanımsız olsa bile limit var olabilir.

lim(x→a) f(x) = L

• Soldan limit: x, a’ya a’dan küçük değerlerle yaklaşır. Gösterimi: lim(x→a⁻) f(x)
• Sağdan limit: x, a’ya a’dan büyük değerlerle yaklaşır. Gösterimi: lim(x→a⁺) f(x)
• Limitin var olması için soldan ve sağdan limit var ve birbirine eşit olmalıdır.
• Soldan ve sağdan limit farklıysa limit yoktur.

lim(x→a) f(x) = L ⇔ lim(x→a⁻) f(x) = lim(x→a⁺) f(x) = L

Parçalı fonksiyonlarda kural değişen noktada limiti incelerken soldan ve sağdan limiti ayrı ayrı hesapla. Mutlak değer ve tam değer fonksiyonlarında da aynı yöntemi kullan. Sık hata: f(a) = L olduğu için limitin de L olduğunu sanmak.

Örnek: f(x) = {x+1, x<2 ; 5−x, x≥2} için soldan limit 2+1=3, sağdan limit 5−2=3’tür. İkisi eşit olduğundan lim(x→2) f(x)=3’tür. Eğer f(x) = {x+1, x<2 ; 6−x, x≥2} olsaydı sağdan limit 4 olur ve limit yoktur.

Limit Özellikleri ve Belirsizlik

lim(x→a) f(x) = L ve lim(x→a) g(x) = M (L, M reel sayı) olsun. c bir reel sayı olmak üzere aşağıdaki özellikler geçerlidir.

Doğrudan yerine koyma 0/0 belirsizliği veriyorsa fonksiyon sadeleştirilir.

• Polinom veya rasyonel ifadede: çarpanlarına ayırıp (x − a) çarpanını sadeleştir.
• Köklü ifadede: eşleniği ile çarp-böl.
• Mutlak değerde: a’nın solunda ve sağında işareti belirleyip ayrı ayrı hesapla.
• x → ±∞ iken rasyonel fonksiyonda pay ve paydanın derecelerine bak.

x → ∞ iken P(x)/Q(x): derece(P) < derece(Q) ise 0; eşitse baş katsayılar oranı; derece(P) > derece(Q) ise ±∞

lim(x→0) sin x / x = 1, lim(x→0) tan x / x = 1