Belirli İntegral ve Alan Hesabı

Konu Özeti

Belirli integral, bir fonksiyonun grafiği ile x ekseni arasında kalan alanı hesaplamanın matematiksel yoludur. Alan, aralığı çok sayıda dar dikdörtgene bölüp toplayarak ve n sonsuza giderken limit alarak bulunur. Analizin Temel Teoremi sayesinde bu işlem türev alma ile ters işlem ilişkisine bağlanır. Böylece alan hesabı, ters türev bulup uç noktalardaki farkı almaya indirgenir. Bu konu AYT'de integralin özellikleri ve alan uygulamalarıyla sık karşımıza çıkar.

Temel Kavramlar

Riemann toplamı: [a, b] aralığını n eşit parçaya bölün. Her parçada bir x_k noktası seçip f(x_k)·Δx kadar dikdörtgen alanı toplayın. n sonsuza giderken bu toplamın limiti belirli integrali verir.

∫ₐᵇ f(x) dx = lim(n→∞) Σ (k=1..n) f(x_k)·(b − a)/n

• Δx = (b − a)/n
• x_k = a + k·Δx
• Sürekli her fonksiyon [a, b] üzerinde integrallenebilir.
• f(x) ≥ 0 ise integral alanı verir; f(x) < 0 kısımlarda integral negatif katkı yapar.

Analizin Temel Teoremi: F, f'nin bir ters türevi ise belirli integral uç noktalardaki değer farkına eşittir.

∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a) = [F(x)]ₐᵇ