Koşullu Olasılık, Bağımlı-Bağımsız ve Bileşik Olaylar (AYT Notu)

Konu Özeti

Bu bölümde bir olayın gerçekleşme olasılığının, başka bir olayın gerçekleştiği bilgisine göre nasıl değiştiğini öğreneceksin. Koşullu olasılık bu değişimi ölçer. Bağımlı-bağımsız olaylar ve bileşik olaylar, birden fazla deneyin birlikte ele alındığı sorularda kullanılır. AYT'de bu kazanımlar genelde zar, torba, para ve test soruları üzerinden sorulur.

Temel Kavramlar

Koşullu olasılık (11.7.1.1): B olayının gerçekleştiği bilindiğinde A olayının olasılığına koşullu olasılık denir ve P(A|B) ile gösterilir. B bilindiği için örnek uzay B'ye daralır. Bu yüzden P(B) > 0 olmalıdır.

P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B), P(B) > 0

• Eşit olasılıklı uzayda P(A|B) = s(A ∩ B) / s(B) olur.
• Çarpma kuralı: P(A ∩ B) = P(B) · P(A|B) = P(A) · P(B|A).
• Her zaman 0 ≤ P(A|B) ≤ 1 olur.
• Genelde P(A|B) ≠ P(B|A) olur. Koşul olan olay paydada yer alır.
• A ⊂ B ise P(A|B) = P(A) / P(B) olur. B ⊂ A ise P(A|B) = 1 olur.

Bağımsız olaylar (11.7.1.2): Bir olayın gerçekleşmesi diğerinin olasılığını etkilemiyorsa olaylara bağımsız, etkiliyorsa bağımlı olaylar denir.

A ve B bağımsız ⇔ P(A ∩ B) = P(A) · P(B)

• A ve B bağımsızsa P(A|B) = P(A) ve P(B|A) = P(B) olur.
• Bağımlı olaylarda P(A ∩ B) = P(A) · P(B|A) olur.
• A ve B bağımsızsa A ile B′, A′ ile B ve A′ ile B′ de bağımsızdır.
• İadeli çekilişlerde olaylar bağımsız, iadesiz çekilişlerde bağımlıdır.
• Ayrık olaylar ile bağımsız olaylar aynı şey değildir. Olasılıkları sıfırdan büyük olan ayrık olaylar bağımsız değildir.

Bileşik olay (11.7.1.3): İki veya daha fazla olayın birlikte ya da ardışık gerçekleşmesinden oluşan olaya bileşik olay denir. Çok adımlı sorularda dallar boyunca çarpılır, farklı dallar ise toplanır.

• 'Ve' (ardışık, birlikte) → çarpma: P(A ∩ B) = P(A) · P(B|A).
• 'Veya' (ayrık yollar) → toplama: ayrık yolların olasılıkları toplanır.
• Tümleyen: P(A′) = 1 − P(A). 'En az bir' sorularında bu yol işi kolaylaştırır.
• n bağımsız denemede her birinde başarı olasılığı p ise tam k başarı olasılığı C(n,k) · p^k · (1 − p)^(n−k) olur.

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)

AYT ipucu: Bağımsızlığı sorgulayan sorularda P(A ∩ B) değerini hesaplayıp P(A) · P(B) ile karşılaştırın. Eşitse bağımsız, değilse bağımlıdır.