Karesel, Karekök ve Rasyonel Fonksiyonların Nitel Özellikleri

Konu Özeti

Bu konuda fonksiyon olma şartını ve karesel, karekök, rasyonel fonksiyonların grafik üzerinden okunan özelliklerini öğreneceksin. Tanım ve görüntü kümesi, artan-azalan aralıklar, tepe noktası, asimptot gibi kavramlar bu konunun temelidir. Bu özellikleri bir fonksiyonun formülünden tahmin edebilmek, sınavdaki grafik ve problem sorularını hızlı çözmeni sağlar.

Temel Kavramlar

A kümesinden B kümesine tanımlı bir bağıntının fonksiyon olması için A'daki her elemanın B'de bir ve yalnız bir elemanla eşleşmesi gerekir. Gerçek sayılarda, y eksenine paralel çizilen her doğru grafiği en çok bir noktada kesmelidir.

• Tanım kümesi: x'in alabileceği değerler. Görüntü kümesi: f(x)'in aldığı değerler.
• Artan fonksiyon: x₁ < x₂ iken f(x₁) < f(x₂). Azalan fonksiyon: x₁ < x₂ iken f(x₁) > f(x₂).
• Tek fonksiyon: f(−x) = −f(x), grafik orijine göre simetriktir. Çift fonksiyon: f(−x) = f(x), grafik y eksenine göre simetriktir.
• Eksen kesim noktaları: y eksenini f(0) noktasında, x eksenini f(x) = 0 çözümlerinde keser.

Karesel fonksiyon f(x) = x² için tanım kümesi ℝ, görüntü kümesi [0, ∞) olur. Fonksiyon çift olup x ≤ 0 için azalan, x ≥ 0 için artandır. Tepe noktası (0, 0) ve en küçük değeri 0'dır.

f(x) = a(x − r)² + k → tepe noktası (r, k), simetri ekseni x = r

• a > 0 ise kollar yukarı açılır, k en küçük değerdir ve görüntü kümesi [k, ∞) olur.
• a < 0 ise kollar aşağı açılır, k en büyük değerdir ve görüntü kümesi (−∞, k] olur.
• |a| büyüdükçe grafik daralır, küçüldükçe genişler.
• r > 0 ise grafik r birim sağa, k > 0 ise k birim yukarı kayar.

Karekök fonksiyonu f(x) = √x için tanım kümesi [0, ∞) ve görüntü kümesi [0, ∞)'dur. Fonksiyon artan olup başlangıç noktası (0, 0)'dır. Genel biçim f(x) = a√(x − r) + k için başlangıç noktası (r, k) olur ve tanım kümesi x ≥ r'dir.

Rasyonel fonksiyon f(x) = 1/x için tanım kümesi ℝ − {0} ve görüntü kümesi ℝ − {0}'dır. Fonksiyon tek olup her iki aralıkta azalandır. Eksenleri kesmez; x = 0 düşey, y = 0 yatay asimptottur.

f(x) = a/(x − r) + k → düşey asimptot x = r, yatay asimptot y = k, simetri merkezi (r, k)