Karekök Fonksiyonu ve Nitel Özellikleri (10. Sınıf)

Konu Özeti

Bu konuda fonksiyon olma koşullarını, karesel fonksiyonların grafiklerini ve karekök fonksiyonunun tanım, değer kümesi ve artan-azalan gibi nitel özelliklerini öğreneceksin. Karekök fonksiyonu, köklü ifadenin negatif olamaması nedeniyle tanım kümesini hemen belirler. Bu nedenle önce tanım kümesini bulmak, grafiği çizmenin ilk adımıdır. Ayrıca rasyonel fonksiyon f(x) = 1/x ve öteleme, yansıma gibi dönüşümler de bu bölümde ele alınır.

Temel Kavramlar

A kümesinden B kümesine tanımlanan bir f bağıntısının fonksiyon olması için A'nın her elemanının B'de tam olarak bir elemanla eşleşmesi gerekir. Gerçek sayılarda tanımlı bir fonksiyonda her x değeri yalnızca bir y değeri ile eşleşir. Karekök fonksiyonunu incelerken aşağıdaki kavramları kullanacaksın.

• Tanım kümesi: x'in alabileceği tüm değerler.
• Değer (görüntü) kümesi: f(x) çıktılarının oluşturduğu küme.
• Artan fonksiyon: x₁ < x₂ iken f(x₁) < f(x₂).
• Azalan fonksiyon: x₁ < x₂ iken f(x₁) > f(x₂).
• Eksenleri kesme noktaları: x ekseni için f(x) = 0, y ekseni için f(0) hesaplanır.

Sık karşılaşılan durum: Grafikte bir dikey doğru eğriyi iki noktada kesiyorsa bu eğri fonksiyon değildir. Örneğin x = y² bağıntısında x = 4 için y = 2 ve y = −2 bulunur, bu yüzden fonksiyon değildir.

Karekök fonksiyonunun genel biçimi f(x) = a√(x − r) + k'dır. Burada başlangıç noktası (r, k) olur. Tanım kümesi x ≥ r, yani [r, ∞) aralığıdır.

f(x) = a√(x − r) + k → başlangıç noktası (r, k)

f(x) = √x fonksiyonunun tanım kümesi [0, ∞), değer kümesi [0, ∞) olur. Grafiği orijinden başlar ve sağa doğru yükselir. En küçük değeri 0'dır, en büyük değeri yoktur. Grafiğinin x ≥ 0 kısmı, x² parabolünün x ≥ 0 kolunun y = x doğrusuna göre yansımasıdır.