Bölünebilme, EBOB–EKOK ve Kalan Problemleri

Konu Özeti

Bu konuda doğal sayıların birbirini bölme ilişkilerini, asal çarpanlara ayırmayı ve bu bilgiyle bulunan EBOB ile EKOK'u öğreneceksin. Ardından bir sayının bir başka sayıya bölümünden kalanın nasıl düşünüleceğini inceleyeceksin. Bu araçlar günlük problemlerde ve LGS ile YKS'deki sayı sorularında sık karşına çıkar. Konunun temeli asal çarpanlara ayırmaya dayandığı için önce onu iyi kavramak gerekir.

Temel Kavramlar

1'den büyük her doğal sayı, asal çarpanlarının çarpımı olarak sıraya bağlı olmaksızın yalnızca bir biçimde yazılır. Bu yazılışa asal çarpanlarına ayırma denir.

n = p₁^a · p₂^b · p₃^c

Pozitif bölen sayısı = (a+1)(b+1)(c+1)

Pozitif bölenlerin toplamı = (1+p₁+…+p₁^a)(1+p₂+…+p₂^b)…

• Bir sayının tam kare olması için tüm asal çarpanlarının üsleri çift olmalıdır.
• Tam kare sayıların pozitif bölen sayısı tektir; tam kare olmayanlarınki çifttir.
• Bir sayıyı tam kare yapmak için üssü tek olan her asal çarpan bir kez daha çarpılır.
• Bir sayının bölenleri, asal çarpanlarının üslerinin 0'dan en büyük üsse kadar seçilmesiyle bulunur.

Çözümlü örnek: 360 = 2³ · 3² · 5 olduğundan bölen sayısı (3+1)(2+1)(1+1) = 24'tür. Tam kare yapmak için üssü tek olan 2 ve 5 birer kez daha çarpılır: 360 · 10 = 3600 = 60². Yanıt 10.

EBOB, sayıların ortak bölenlerinin en büyüğüdür. EKOK ise sayıların pozitif ortak katlarının en küçüğüdür. İkisi de asal çarpanlara ayırarak bulunur.

EBOB: ortak asal çarpanların en küçük üsleri alınır.

EKOK: tüm asal çarpanların en büyük üsleri alınır.

a · b = EBOB(a,b) · EKOK(a,b)

• EBOB(a,b) = 1 ise a ve b aralarında asaldır ve EKOK(a,b) = a · b olur.
• EBOB her iki sayıyı da böler; EKOK ise her iki sayıya da bölünür.
• EBOB(a,b) = k ise a = k · x, b = k · y yazılır (x ile y aralarında asal) ve EKOK = k · x · y olur.
• Parçalara ayırma ve bölüştürme problemlerinde genelde EBOB, birlikte tekrar ve ortak buluşma problemlerinde EKOK kullanılır.

Çözümlü örnek: 36 m ve 60 m uzunluğundaki iki ip, eşit uzunlukta ve en uzun parçalara bölünecektir. Parça uzunluğu EBOB(36,60) = 12 m'dir. Parça sayısı 36/12 + 60/12 = 3 + 5 = 8 olur.

Bir A doğal sayısı b'ye bölündüğünde bölüm k, kalan r ise A = b · k + r yazılır. Kalan, bölenden küçük olmak zorundadır.

A = b · k + r, 0 ≤ r < b

• A − r sayısı b'ye tam bölünür.
• A, 5'e bölündüğünde 3 kalıyorsa A = 5k + 3 biçimindedir.
• Kalanlar aynı r ise A − r sayısı bölenlerin EKOK'unun katıdır; örneğin A = 4k + 2 ve A = 6m + 2 ise A − 2 sayısı 12'nin katıdır.
• Kalanlar bölenden 1 eksikse (A = 4k + 3, A = 6m + 5 gibi) A + 1 sayısı bölenlerin EKOK'unun katıdır.
• Kalanlar bölenden aynı d farkı kadar eksikse A + d sayısı bölenlerin EKOK'unun katıdır.

Kalan ipucu: Kalanlar bölenlerden aynı farkla eksikse, o farkı A'ya ekleyerek ortak kat aranır. Böylece kalan problemi EKOK problemine dönüşür.