10. Sınıf EBOB, EKOK ve Asal Çarpanlar Notu

Konu Özeti

Bu konuda doğal sayıları asal çarpanlarına ayırarak en büyük ortak bölenini (EBOB) ve en küçük ortak katını (EKOK) bulmayı öğreneceksin. Asal çarpanlara ayırma, bir sayının kaç böleni olduğunu ve hangi sayılara bölündüğünü anlamanın temelidir. Ayrıca kalanlı bölme sorularında EBOB ve EKOK'u nasıl kullanacağını göreceksin. Konu, LGS sonrası ve YKS'de sık karşına çıkan problem çözme becerisini de güçlendirir.

Temel Kavramlar

1'den büyük her doğal sayı, asal çarpanlarının çarpımı olarak tek bir biçimde yazılır. Bu yazılışa asal çarpanlara ayırma denir. Asal çarpanların üsleri, sayının bölen sayısını doğrudan belirler.

n = p₁^a · p₂^b · p₃^c ise pozitif bölen sayısı = (a+1)(b+1)(c+1)

• Bölenlerin toplamı: (1+p₁+...+p₁^a)(1+p₂+...+p₂^b)... biçimindedir.
• Bir sayı tam kare ise tüm asal çarpanlarının üsleri çifttir; pozitif bölen sayısı tek olur.
• Bir sayının bir sayıya bölünebilmesi için sayının asal çarpanları, bölenin asal çarpanlarını üsleriyle birlikte içermelidir. Örneğin 360 = 2³·3²·5 sayısı 24 = 2³·3'e bölünür.

Örnek: 72 sayısının pozitif bölen sayısı ve bölenlerinin toplamı kaçtır? Çözüm: 72 = 2³·3². Bölen sayısı (3+1)(2+1) = 12. Toplam (1+2+4+8)(1+3+9) = 15·13 = 195.

EBOB ve EKOK Tanımları

EBOB, iki ya da daha fazla sayıyı birlikte bölen en büyük pozitif tam sayıdır. EKOK ise bu sayıların ortak katlarının en küçük pozitif olanıdır. İkisi de asal çarpanlar yardımıyla kolayca bulunur.

a · b = EBOB(a,b) · EKOK(a,b)

• Ortak bölenler EBOB'un bölenleridir; ortak katlar EKOK'un katlarıdır.
• EBOB(a,b) = 1 ise a ve b aralarında asaldır ve EKOK(a,b) = a · b olur.
• a, b'nin katıysa EBOB = b ve EKOK = a olur.
• Sayılar ortak bir k çarpanıyla çarpılırsa EBOB ve EKOK da k ile çarpılır.
• EBOB problemlerinde bölme, eşit parçalara ayırma ve en büyük kare bulma gibi durumlar; EKOK problemlerinde ise tekrar eden olayların aynı anda gerçekleşmesi gibi durumlar vardır.