Asal Çarpanlar, Bölenler, OBEB-OKEK ve Kalanlar

Konu Özeti

Bu konuda doğal sayıları asal çarpanlarına ayırmayı, bu ayrışımdan bölenleri bulmayı ve iki sayının ortak bölen ve katlarını incelemeyi öğreneceksin. Asal çarpanlara ayırma, OBEB ve OKEK hesaplarının temelidir. Bölme işleminde kalan kavramı ise bir sayının hangi sayılara bölünüp hangi kalanı verdiğini anlamamızı sağlar. Bu üç başlık birlikte sayılar arasındaki ilişkileri muhakeme etmenin kapısını açar.

Temel Kavramlar

Her 1'den büyük doğal sayı, asal çarpanlarının çarpımı olarak sıra farkı dışında tek türlü yazılır. Bu yazılış sayının bütün bölenleri hakkında bilgi verir.

n = a^x · b^y · c^z (a, b, c farklı asallar)

• Pozitif bölen sayısı: (x+1)(y+1)(z+1)
• Pozitif bölenlerin toplamı: (1+a+…+a^x)(1+b+…+b^y)(1+c+…+c^z)
• Bölenlerin çarpımı: n^(bölen sayısı / 2)
• Bölen sayısı tek ise sayı tam karedir; tam kare sayıların bölen sayısı tektir.
• Asal çarpan sayısı, farklı asal çarpanların sayısıdır (a, b, c için 3 tane).

Ortak bölenler, OBEB'in bölenleridir. Ortak katlar ise OKEK'in katlarıdır. Aşağıdaki şekilde 36 ve 60'ın asal çarpanlarının ortak kısmı görülüyor.

• OBEB(a,b): a ve b'nin ortak bölenlerinin en büyüğüdür. Asal çarpanlarında ortak asalların en küçük üsleri çarpılır.
• OKEK[a,b]: ortak katlarının en küçüğüdür. Tüm asalların en büyük üsleri çarpılır.
• OBEB(a,b) = 1 ise a ve b aralarında asaldır ve OKEK = a · b.
• a, b'nin katıysa OBEB = b, OKEK = a.

OBEB(a,b) · OKEK(a,b) = a · b

Kalan kavramında bölme bağıntısını kullanırız. a sayısı b'ye bölündüğünde bölüm q, kalan k ise a = b·q + k yazılır ve 0 ≤ k < b olur.

a = b·q + k, 0 ≤ k < b

• a sayısı 5'e bölününce kalan 3 ise a = 5k + 3 biçimindedir.
• Kalanlar toplanıp çarpılabilir: a = 7k+3, b = 7m+4 ise a+b'nin 7'ye bölümünden kalan 0, a·b'nin kalanı 3·4 = 12 → 5'tir.
• a, b'ye bölününce k kalıyorsa a − k sayısı b'nin tam katıdır.