Gerçek Sayılarda Fonksiyon Olma Şartları ve Referans Fonksiyonlar

Konu Özeti

Fonksiyon, her girdiye yalnızca bir çıktı karşılık getiren bir kuraldır. Bu konuda önce bir bağıntının fonksiyon olup olmadığını nasıl anlayacağımızı öğreneceğiz. Ardından karesel, karekök ve rasyonel referans fonksiyonların özelliklerini inceleyeceğiz. Son olarak bu fonksiyonlardan dönüşümlerle yeni fonksiyonlar türetmeyi ve problemlere uygulamayı göreceğiz.

Temel Kavramlar

A ve B boş olmayan kümeler olsun. f: A → B bir fonksiyondur ancak ve ancak A kümesindeki her elemanın B kümesinde bir ve yalnız bir görüntüsü varsa. Yani A'da açıkta eleman kalmaz ve A'daki hiçbir elemandan iki farklı ok çıkmaz.

• Tanım kümesi: x değerlerinin kümesi, A.
• Değer kümesi: B kümesi.
• Görüntü kümesi: f(x) değerlerinin oluşturduğu küme, f(A) ⊆ B.
• Gerçek sayılarda tanımlı fonksiyon: f: A → ℝ, A ⊆ ℝ.
• Grafik üzerinde: y eksenine paralel çizilen her doğru grafiği en fazla bir noktada keser.

Bir bağıntının fonksiyon olup olmadığını iki soruyla kontrol edin: Her girdi kullanılmış mı ve hiçbir girdiden iki çıktı çıkmış mı? Bu iki koşul birlikte sağlanıyorsa bağıntı fonksiyondur.

En geniş tanım kümesi

İpucu: Kök paydadaysa kök içi sıfır olamaz; yalnızca pozitif olabilir.

Karesel Fonksiyon: f(x) = x² (MAT.10.4.2)

• Tanım kümesi ℝ, görüntü kümesi [0, ∞).
• Grafiği orijinden geçen parabolдür; y eksenine göre simetriktir (çift fonksiyon).
• (−∞, 0] aralığında azalan, [0, ∞) aralığında artandır.
• Tepe noktası (0, 0) olup en küçük değer 0'dır.

f(x) = a(x − h)² + k → tepe noktası (h, k)

• a > 0 ise kollar yukarı açılır, en küçük değer k ve görüntü kümesi [k, ∞).
• a < 0 ise kollar aşağı açılır, en büyük değer k ve görüntü kümesi (−∞, k].
• k değeri grafiği düşey, h değeri yatay yönde öteler.
• Simetri ekseni x = h doğrusudur.

Karekök Fonksiyonu: f(x) = √x (MAT.10.4.3)

• Tanım kümesi [0, ∞), görüntü kümesi [0, ∞).
• Başlangıç noktası (0, 0) olup tanım kümesinde daima artandır.
• Ne çift ne tektir, çünkü tanım kümesi orijine göre simetrik değildir.
• a > 0 ise görüntü kümesi [k, ∞), a < 0 ise (−∞, k] olur.

f(x) = a√(x − h) + k → başlangıç noktası (h, k), tanım kümesi [h, ∞)

Rasyonel Fonksiyon: f(x) = 1/x (MAT.10.4.4)

• Tanım kümesi ℝ − {0}, görüntü kümesi ℝ − {0}.
• Orijine göre simetriktir (tek fonksiyon): f(−x) = −f(x).
• (−∞, 0) ve (0, ∞) aralıklarının her birinde azalandır.
• x = 0 düşey asimptot, y = 0 yatay asimptottur.

f(x) = a/(x − h) + k → düşey asimptot x = h, yatay asimptot y = k

• Tanım kümesi ℝ − {h}, görüntü kümesi ℝ − {k}.
• a > 0 ise dallar sağ üst ve sol alt bölgededir; a < 0 ise sol üst ve sağ alt bölgededir.

Referans Fonksiyonlardan Dönüşümler (MAT.10.4.5)

Doğrusal f(x) = x, karesel x², karekök √x ve rasyonel 1/x referans fonksiyonlardır. Bunlardan aşağıdaki dönüşümlerle yeni fonksiyonlar elde edilir.

Problemlerde Modelleme (MAT.10.4.6)

Problemde verilen durum uygun fonksiyonla modellenir; örneğin alan için karesel, birim fiyat ya da ortalama için rasyonel fonksiyon kullanılır. Ardından tanım kümesi problemin koşullarına göre belirlenir. Uzunluk ve miktar negatif olamaz.

Örnek: Çevresi 20 m olan dikdörtgenin bir kenarı x ise alanı A(x) = x(10 − x) = −x² + 10x'tir. Kenarlar pozitif olduğundan tanım kümesi (0, 10). Tepe noktası x = 5 olup en büyük alan A(5) = 25 m²'dir.