Rasyonel Fonksiyon ve Nitel Özellikler (10. Sınıf) - Genişletilmiş Konu Notu

Konu Özeti

Bu konuda fonksiyon kavramını ve fonksiyonların grafiklerini incelerken dört referans fonksiyonu tanıyacaksın: doğrusal, karesel, karekök ve rasyonel fonksiyonlar. Her fonksiyonun tanım kümesi, görüntü kümesi, artan ya da azalan olması, simetrisi ve asimptotları gibi nitel özellikleri vardır. Bu özellikleri bilmek, grafiği çizmeden fonksiyon hakkında yorum yapabilmeni sağlar. Son bölümde bu referans fonksiyonların öteleme, yansıma ve genişleme ile nasıl yeni fonksiyonlar ürettiğini ve günlük hayat problemlerinde nasıl kullanıldığını göreceksin.

Temel Kavramlar

A kümesinden B kümesine tanımlı bir bağıntının fonksiyon olması için A'nın her elemanının B'de yalnızca bir elemanla eşlenmesi gerekir. Gerçek sayılarda tanımlı bir fonksiyonda her x değeri için tek bir y değeri bulunur. Bunu grafikte dikey doğru testiyle kontrol edebilirsin: hiçbir dikey doğru grafiği birden fazla noktada kesmemelidir.

• Tanım kümesi: f(x) değerinin tanımlı olduğu x değerlerinin kümesi.
• Görüntü (değer) kümesi: f(x) değerlerinin oluşturduğu küme.
• Artan fonksiyon: x1 < x2 iken f(x1) < f(x2). Azalan fonksiyon: x1 < x2 iken f(x1) > f(x2).
• Sabit fonksiyon: Her x için f(x) = c.
• Tek fonksiyon: f(-x) = -f(x), orijine göre simetriktir. Çift fonksiyon: f(-x) = f(x), y eksenine göre simetriktir.

Karesel fonksiyon: Referans fonksiyon f(x) = x² dir. Tanım kümesi ℝ, görüntü kümesi [0, ∞) dur. Fonksiyon çifttir; x < 0 için azalan, x > 0 için artandır ve en küçük değerini (0,0) tepe noktasında alır.

f(x) = a(x − r)² + k → tepe noktası (r, k), simetri ekseni x = r

• r değeri grafiği yatayda öteler: x − r ise sağa r birim, x + r ise sola r birim.
• k değeri grafiği dikeyde öteler: k > 0 yukarı, k < 0 aşağı.
• a > 0 ise kollar yukarı bakar ve en küçük değer k dır. a < 0 ise kollar aşağı bakar ve en büyük değer k dır.
• |a| büyüdükçe parabol daralır, |a| küçüldükçe genişler.

Karekök fonksiyon: Referans fonksiyon f(x) = √x dir. Tanım kümesi [0, ∞), görüntü kümesi [0, ∞) dur. Başlangıç noktası (0,0) dır ve fonksiyon daima artandır. Tek ya da çift değildir, çünkü tanım kümesi orijine göre simetrik değildir.

f(x) = a√(x − r) + k → başlangıç noktası (r, k)

• Tanım kümesi: x − r ≥ 0 olduğundan [r, ∞).
• a > 0 için görüntü kümesi [k, ∞), a < 0 için (−∞, k].
• a > 0 ise fonksiyon artan, a < 0 ise azalandır.

Rasyonel fonksiyon: Referans fonksiyon f(x) = 1/x tir. Tanım kümesi ℝ − {0}, görüntü kümesi ℝ − {0} dır. Fonksiyon tektir ve x = 0 düşey, y = 0 yatay asimptottur. Her iki tanım aralığında ayrı ayrı azalan bir yapısı vardır.

f(x) = a/(x − r) + k → düşey asimptot x = r, yatay asimptot y = k

• Tanım kümesi ℝ − {r}, görüntü kümesi ℝ − {k}.
• a > 0 ise grafik, asimptotların kesişim noktasına göre 1. ve 3. bölgelerde; a < 0 ise 2. ve 4. bölgelerde yer alır.
• Grafik asimptotlara giderek yaklaşır ama asla onlara değmez.