Fonksiyonlarda Dört İşlem ve Bileşke Fonksiyon

Konu Özeti

Bu konuda iki fonksiyonu toplama, çıkarma, çarpma ve bölme ile birleştirmeyi ve bileşke fonksiyonu öğreneceksin. Her işlemin tanım kümesini doğru belirlemek, bölme ve bileşkede yapılan hataların önüne geçer. Ayrıca bilinmeyen bir fonksiyonu bileşkeden bulma becerisi sınavlarda sık karşına çıkar.

Temel Kavramlar

f ve g fonksiyonlarının tanım kümeleri Df ve Dg olsun. Toplama, çıkarma ve çarpmada tanım kümesi Df ∩ Dg olur; bölmede ise ayrıca g(x) = 0 olan noktalar çıkarılır.

(f + g)(x) = f(x) + g(x), (f − g)(x) = f(x) − g(x), x ∈ Df ∩ Dg

(f · g)(x) = f(x) · g(x), x ∈ Df ∩ Dg

(f / g)(x) = f(x) / g(x), x ∈ Df ∩ Dg ve g(x) ≠ 0

• Bir sayıyla çarpma: (c · f)(x) = c · f(x) ve tanım kümesi Df'dir.
• Toplama ve çarpma işlemlerinde değişme ve birleşme özelliği vardır: f + g = g + f, f · g = g · f.
• Çarpmanın toplama üzerine dağılma özelliği vardır: f · (g + h) = f · g + f · h.
• Çıkarmada değişme özelliği yoktur: f − g ile g − f genellikle farklıdır.
• Toplama işleminin etkisiz elemanı f(x) = 0 sabit fonksiyonu, çarpmanın etkisiz elemanı f(x) = 1 sabit fonksiyonudur.

f ve g fonksiyonları için f∘g bileşkesi (f∘g)(x) = f(g(x)) biçiminde tanımlanır. Önce g uygulanır, çıkan sonuç f'ye girdi olarak verilir.

(f∘g)(x) = f(g(x)), (g∘f)(x) = g(f(x))

• Bileşke işleminin değişme özelliği yoktur: genellikle f∘g ≠ g∘f.
• Birleşme özelliği vardır: (f∘g)∘h = f∘(g∘h).
• Birim fonksiyon I(x) = x bileşkenin etkisiz elemanıdır: f∘I = I∘f = f.
• f(x) = ax + b ve g(x) = cx + d birinci dereceyse (a ≠ 0, c ≠ 0), bileşkeleri de birinci derecedendir ve baş katsayısı a · c olur.
• (f∘g)(x) verilip f veya g isteniyorsa, bilinen fonksiyon yerine konup değişken değiştirilerek bilinmeyen bulunur.