Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar (11. Sınıf)

Konu Özeti

Bu konuda a > 0 ve a ≠ 1 olmak üzere f(x) = aˣ biçimindeki üstel fonksiyonları öğreneceksin. Üstel fonksiyon bire bir ve örten olduğu için tersi vardır ve bu ters fonksiyon logaritmik fonksiyondur. Grafiklerini, monotonluğunu ve asimptotlarını inceleyerek her iki fonksiyonun özelliklerini karşılaştıracağız. Son olarak bu fonksiyonlarla kurulan gerçek yaşam modellerini ve denklemlerini çözeceğiz.

Temel Kavramlar

a > 0 ve a ≠ 1 olmak üzere f(x) = aˣ fonksiyonuna üstel fonksiyon denir. Tanım kümesi ℝ, değer kümesi (0, ∞) aralığıdır. Grafik x eksenini kesmez, y eksenini (0, 1) noktasında keser ve x ekseni yatay asimptottur.

• Üstel fonksiyon bire bir olduğu için aˣ = aʸ ise x = y olur.
• a > 1 ise x < y ⇔ aˣ < aʸ (eşitsizlik yönü korunur).
• 0 < a < 1 ise x < y ⇔ aˣ > aʸ (eşitsizlik yönü değişir).
• f(x) = aˣ ile g(x) = (1/a)ˣ grafikleri y eksenine göre simetriktir.

f(x) = aˣ fonksiyonu ℝ → (0, ∞) bire bir ve örten olduğundan tersi vardır. Bu tersine a tabanında logaritma fonksiyonu denir ve f⁻¹(x) = logₐx ile gösterilir.

y = aˣ ⇔ x = logₐy (a > 0, a ≠ 1, y > 0)

• f(x) = aˣ ile f⁻¹(x) = logₐx grafikleri y = x doğrusuna göre simetriktir.
• Üstelin tanım kümesi ℝ, değer kümesi (0, ∞) olduğundan logaritmanın tanım kümesi (0, ∞), değer kümesi ℝ olur.
• Üstelin yatay asimptotu (x ekseni) logaritmada düşey asimptot olur: x = 0 (y ekseni).
• logₐ1 = 0 ve logₐa = 1 olduğu için tüm logaritma grafikleri (1, 0) noktasından geçer.
• aˡᵒᵍₐˣ = x (x > 0) ve logₐaˣ = x eşitlikleri ters fonksiyon ilişkisinden gelir.

• logₐx = logₐy ise x = y (x, y > 0).
• a > 1 ise x < y ⇔ logₐx < logₐy.
• 0 < a < 1 ise x < y ⇔ logₐx > logₐy.
• f(x) = logₐ(x + m) + n fonksiyonunun tanım kümesi x + m > 0 koşuluyla bulunur ve düşey asimptot x = −m doğrusudur.