Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar: Nitel Özellikler

Konu Özeti

Üstel fonksiyonlar, tabanı sabit ve üssü değişken olan fonksiyonlardır. Nüfus artışı, bileşik faiz ve radyoaktif bozunma gibi birçok olgu bu fonksiyonlarla modellenir. Üstel fonksiyonun tersi logaritmik fonksiyondur ve iki fonksiyon birbirini tamamlar. Bu notta grafiklerin nitel özelliklerini ve bunların denklem çözmedeki kullanımını öğreneceksin.

Temel Kavramlar

a > 0 ve a ≠ 1 olmak üzere f: ℝ → ℝ⁺, f(x) = aˣ fonksiyonuna üstel fonksiyon denir. Tanım kümesi ℝ, görüntü kümesi (0, ∞) aralığıdır. Grafik x eksenini kesmez; x ekseni yatay asimptottur ve grafik her zaman (0, 1) noktasından geçer.

• Üstel fonksiyon bire bir ve örtendir (ℝ → ℝ⁺). Bu yüzden aˣ¹ = aˣ² ise x₁ = x₂.
• a > 1 ise aˣ¹ < aˣ² ⇔ x₁ < x₂ (eşitsizlik yönü korunur).
• 0 < a < 1 ise aˣ¹ < aˣ² ⇔ x₁ > x₂ (eşitsizlik yönü değişir).
• a⁻ˣ = (1/a)ˣ; f(x) = aˣ ve f(x) = a⁻ˣ grafikleri y eksenine göre simetriktir.

Türetilen üstel fonksiyonlarda temel grafik kaydırılır, uzatılır ya da yansıtılır. Aşağıdaki kurallar sık kullanılır.

• g(x) = aˣ + k: grafik k birim yukarı (k > 0) ya da aşağı (k < 0) kayar. Yatay asimptot y = k olur ve görüntü kümesi (k, ∞) aralığıdır.
• g(x) = aˣ⁺ᵐ: grafik x ekseninde −m kadar kayar. Asimptot y = 0 kalır ve grafik (−m, 1) noktasından geçer.
• g(x) = c · aˣ: değerler |c| katına çıkar; grafik (0, c) noktasından geçer. c < 0 ise x eksenine göre simetri alınır.
• g(x) = −aˣ: x eksenine göre yansıma yapılır ve görüntü kümesi (−∞, 0) olur.

Temel Kavramlar (Logaritmik Fonksiyon)

f(x) = aˣ fonksiyonu ℝ → ℝ⁺ bire bir ve örten olduğundan tersi vardır. Bu ters fonksiyona logaritma fonksiyonu denir: f⁻¹(x) = logₐx, f⁻¹: ℝ⁺ → ℝ. Grafikleri y = x doğrusuna göre birbirinin simetriğidir.

y = aˣ ⇔ x = logₐy (a > 0, a ≠ 1, y > 0)

• logₐ1 = 0 ve logₐa = 1 dir.
• logₐ(aˣ) = x ve a^(logₐx) = x (x > 0).
• logₐx₁ = logₐx₂ ise x₁ = x₂ (logaritmik fonksiyon bire birdir).
• Taban 10 olan logaritma log x ile gösterilir.