Trigonometrik Fonksiyonlar ve Nitel Özellikleri (11. Sınıf) Konu Notu

Konu Özeti

Bu konuda sin x, cos x, tan x ve cot x fonksiyonlarının tanım kümesi, görüntü kümesi, periyot ve simetri özelliklerini öğreneceksin. Birim çemberden hareketle bu fonksiyonların grafiklerinin nasıl oluştuğunu anlayacaksın. Genlik, periyot ve kayma gibi parametrelerin grafiği nasıl değiştirdiğini inceleyerek periyodik olayları modelleyeceksin. Son olarak bu fonksiyonlarla kurulan denklemleri çözmeyi göreceksin.

Temel Kavramlar

Birim çemberde (merkezi orijinde, yarıçapı 1 olan çember) x açısına karşılık gelen noktanın koordinatları (cos x, sin x) şeklindedir. Buna göre sin x bu noktanın ordinatı, cos x ise apsisidir.

sin²x + cos²x = 1 ve tan x = sin x / cos x (cos x ≠ 0), cot x = cos x / sin x (sin x ≠ 0)

• sin(−x) = −sin x, cos(−x) = cos x, tan(−x) = −tan x: sin ve tan tek, cos çift fonksiyondur.
• Dört bölgede işaretler: I. bölgede hepsi pozitiftir; II. bölgede yalnız sin pozitiftir; III. bölgede yalnız tan ve cot pozitiftir; IV. bölgede yalnız cos pozitiftir.
• sin x ve cos x sınırlıdır (değerleri −1 ile 1 arasındadır); tan x ve cot x sınırsızdır.
• tan x'in düşey asimptotları x = π/2 + kπ, cot x'in düşey asimptotları x = kπ doğrularıdır.

Aşağıdaki aralıklarda fonksiyonlar artan ya da azalandır. Bu bilgi grafik çizerken ve en büyük, en küçük değer bulurken işine yarar.

• sin x: [−π/2, π/2] aralığında artan, [π/2, 3π/2] aralığında azalan.
• cos x: [0, π] aralığında azalan, [π, 2π] aralığında artan.
• tan x: tanımlı olduğu her (−π/2 + kπ, π/2 + kπ) aralığında artan.
• cot x: tanımlı olduğu her (kπ, π + kπ) aralığında azalan.
• sin x'in en büyük değeri 1 (x = π/2 + 2kπ), en küçük değeri −1 (x = −π/2 + 2kπ) olur.
• cos x'in en büyük değeri 1 (x = 2kπ), en küçük değeri −1 (x = π + 2kπ) olur.

Genel biçim f(x) = a·sin(bx + c) + d ya da g(x) = a·cos(bx + c) + d şeklindedir. Her parametrenin grafiğe etkisi aşağıdaki tabloda verilmiştir.

f(x) = a·sin(bx + c) + d ve g(x) = a·cos(bx + c) + d

• a < 0 ise grafik y = d doğrusuna göre yansır; genlik yine |a| değerindedir.
• Tek-çift incelemesi için f(−x) ile f(x) karşılaştırılır; c ya da d sıfırdan farklıysa fonksiyon genelde ne tek ne çifttir.
• Periyodik bir fonksiyonun grafiği, bir periyotluk parçanın tekrarından oluşur.

Trigonometrik denklemler için temel çözüm formülleri şöyledir (k ∈ ℤ).

sin x = sin α ⇒ x = α + 2kπ veya x = π − α + 2kπ

cos x = cos α ⇒ x = α + 2kπ veya x = −α + 2kπ

tan x = tan α ⇒ x = α + kπ

• cot x = cot α ⇒ x = α + kπ.
• sin x = a ya da cos x = a biçimindeki denklemlerde |a| ≤ 1 olmalıdır; aksi halde çözüm yoktur.
• Verilen aralıktaki kökleri bulmak için k'ye uygun tam sayı değerleri verilir.
• sin²x yerine 1 − cos²x yazılarak denklem tek bir fonksiyona indirgenir; ardından t = cos x gibi bir değişken seçilir.
• Dalga, gelgit ya da çarkıfelek yüksekliği gibi periyodik problemlerde model f(t) = a·sin(bt + c) + d biçimindedir ve verilen değer denklemde yerine konup t çözülür.