11. Sınıf Dörtgenler ve Çokgenler: Özellikler

Konu Özeti

Dörtgenler dört kenarlı ve dört köşeli kapalı şekillerdir. Bu konuda iç ve dış açı toplamlarını, köşegenlerin özelliklerini ve alan formüllerini öğreneceksin. Paralelkenar, eşkenar dörtgen, dikdörtgen, kare, yamuk ve deltoid gibi özel dörtgenleri birbirleriyle karşılaştıracaksın. Son olarak bu bilgileri dışbükey ve içbükey çokgenlere genelleyeceksin.

Temel Kavramlar

Bir dörtgenin köşegeni, karşılıklı iki köşeyi birleştiren doğru parçasıdır. Köşegen dörtgeni iki üçgene ayırır. Bu nedenle dörtgenin iç açılar toplamı 2 · 180° = 360° olur.

• Köşegenleri birbirini O noktasında kesen ABCD dörtgeninde karşılıklı üçgenlerin alanları çarpımı eşittir: A(AOB) · A(COD) = A(BOC) · A(DOA).
• Köşegenleri dik olan dörtgenin alanı A = |AC| · |BD| / 2 formülüyle bulunur.
• Köşegen uzunlukları e ve f, aralarındaki açı θ ise herhangi bir dörtgenin alanı A = (1/2) · e · f · sinθ olur.
• Aynı yükseklikteki üçgenlerin alanları oranı, tabanlarının oranına eşittir.

İç açılar toplamı = 360° | Alan = (1/2) · e · f · sinθ

Özel Dörtgenler

Özel Dörtgenlerin İlişkileri ve Alanlar

• Kare hem dikdörtgen hem eşkenar dörtgendir; bu iki dörtgen de paralelkenarın özel halidir.
• Paralelkenar alanı taban · yükseklik = a · b · sinα ile bulunur.
• Eşkenar dörtgen alanı (e · f) / 2 ile bulunur.
• Dikdörtgen alanı a · b; kare alanı a² = e² / 2 ile bulunur (e köşegen).
• Yamuk alanı (a + c) · h / 2; orta taban uzunluğu (a + c) / 2 olur.
• İkizkenar yamukta yan kenarlar ve köşegenler eşittir; taban açıları eşittir.
• Deltoid alanı (e · f) / 2 ile bulunur, çünkü köşegenler diktir.

Paralelkenar: A = a · b · sinα | Yamuk: A = (a + c) · h / 2

Çözümlü ipucu: Eşkenar dörtgenin köşegenleri 10 cm ve 24 cm ise yarı köşegenler 5 cm ve 12 cm olur. Kenar √(25 + 144) = 13 cm, çevre 4 · 13 = 52 cm ve alan 10 · 24 / 2 = 120 cm² olur.

Çokgenlerde İçbükey ve Dışbükey Ayrımı

• Dışbükey çokgenin her iç açısı 180°'den küçüktür; herhangi iki noktasını birleştiren doğru parçası çokgenin içinde kalır.
• İçbükey çokgende en az bir iç açı 180°'den büyüktür ve en az bir köşegen çokgenin dışına çıkar.
• Bir çokgenin dışbükey mi içbükey mi olduğunu anlamak için iç açılarına ya da köşegenlerinin konumuna bakılır.

Dışbükey Çokgenlerin Özellikleri

• n kenarlı dışbükey çokgenin iç açılar toplamı (n − 2) · 180° olur.
• Dışbükey çokgende dış açılar toplamı her zaman 360° olur.
• Bir köşeden çizilen köşegen sayısı n − 3; toplam köşegen sayısı n(n − 3) / 2 olur.
• Bir köşeden çizilen köşegenler dışbükey çokgeni n − 2 üçgene ayırır; çokgenin alanı bu üçgenlerin alanları toplamıdır.
• Düzgün çokgende bir iç açı (n − 2) · 180° / n, bir dış açı 360° / n olur. Her düzgün çokgenin n simetri ekseni vardır.
• Düzgün çokgenin simetri merkezi yalnızca n çift olduğunda bulunur.

İç açılar toplamı = (n − 2) · 180° | Köşegen sayısı = n(n − 3) / 2