klevero

Çok yakında

11. Sınıf Matematik

11. Sınıf Çokgenler: Dörtgenler, Özel Dörtgenler ve Dışbükey Çokgenler

Geometrik Şekiller · 11. sınıf

Klevi Matematik Atölyesi · Klevero ekibi · yapay zekâ destekli · Güncellendi:

Kazanımlar

  • MAT.11.2.1 Üçgenlerde açı, benzerlik ve alan özelliklerinden yola çıkarak dörtgenlerin açı, kenar, köşegen…
  • MAT.11.2.2 Özel dörtgenlerin kenar, açı, köşegen ve simetri özelliklerinden hareketle aralarındaki ilişkileri…
  • MAT.11.2.3 Çokgenleri içbükey veya dışbükey olarak sınıflandırabilme
  • MAT.11.2.4 Dışbükey çokgenlerin kenar, açı, köşegen, simetri ve alan özelliklerine dair çıkarım yapabilme
  • MAT.11.2.5 Çokgenlerin kenar, açı, köşegen, simetri ve alan özelliklerini içeren problemler çözebilme

1. Çokgenlerin Sınıflandırılması: İçbükey ve Dışbükey

Bir çokgenin herhangi iki noktasını birleştiren doğru parçası tamamen çokgenin içinde (veya kenarında) kalıyorsa çokgen dışbükeydir. Bu doğru parçasının bir kısmı çokgenin dışında kalıyorsa çokgen içbükeydir.

  • Dışbükey çokgende tüm iç açılar 180°'den küçüktür.
  • İçbükey çokgende en az bir iç açı 180°'den büyüktür.
  • Dışbükey çokgende bütün köşegenler çokgenin içinde kalır.
  • İçbükey çokgende en az bir köşegen çokgenin dışına taşar.

Hızlı test: Bir çokgende 180°'den büyük bir iç açı varsa çokgen içbükeydir. Hiç yoksa dışbükeydir.

2. Dışbükey Çokgenlerin Özellikleri

n kenarlı dışbükey çokgenin iç açıları toplamı = (n − 2) · 180°

Dış açıları toplamı = 360°; köşegen sayısı = n(n − 3) / 2

  • Bir köşeden çizilen köşegen sayısı n − 3'tür; çokgen bu köşegenlerle n − 2 üçgene ayrılır.
  • Düzgün çokgende tüm kenarlar ve tüm açılar eşittir. Bir iç açısı = (n − 2) · 180° / n, bir dış açısı = 360° / n.
  • Düzgün n-genin n tane simetri ekseni vardır.
  • Düzgün çokgenin alanı, merkezden köşelere çizilen n eş ikizkenar üçgenin alanları toplamıdır.

Çözümlü örnek: Bir iç açısı 140° olan düzgün çokgenin kenar sayısı kaçtır? Dış açı = 180° − 140° = 40°. n = 360° / 40° = 9. Çokgen düzgün dokuzgendir ve köşegen sayısı 9 · 6 / 2 = 27'dir.

3. Dörtgenlerde Açı, Kenar ve Köşegen Özellikleri

  • Dışbükey dörtgenin iç açıları toplamı 360°'dir; dış açıları toplamı da 360°'dir.
  • Dışbükey dörtgende köşegenler dörtgenin içinde kesişir. Köşegenler dörtgeni üçgenlere ayırır; benzerlik ve alan bağıntıları bu üçgenlerle kurulur.
  • Dörtgenin bir köşegeni onu iki üçgene ayırır. Üçgen eşitsizliği ile her kenar, diğer üç kenarın toplamından küçüktür.
  • Köşegenleri dik olan dörtgenin alanı: A = (e · f · sinα) / 2'dir (e, f köşegen uzunlukları, α aralarındaki açı). Dik kesişiyorsa sin90° = 1 olur ve A = e · f / 2'dir.

Dışbükey dörtgende alan: A = (1/2) · e · f · sinα

Köşegenlerin kesim noktası O ise AOB ve COD üçgenlerinin alanlarının çarpımı, AOD ve BOC üçgenlerinin alanlarının çarpımına eşittir: A(AOB) · A(COD) = A(AOD) · A(BOC). Bu bağıntı, üçgenlerde aynı yüksekliğe sahip alanların taban oranına eşit olmasından gelir.

Notun devamı (Klevero uygulamasında)

  • 4. Özel Dörtgenler
  • 5. Alan Bağıntıları
  • 6. Problem Çözme Stratejisi