Fonksiyonlarda Bileşke ve Dört İşlem Konu Notu

Konu Özeti

Bu konuda iki fonksiyonu art arda uygulamayı ve iki fonksiyonu toplama, çıkarma, çarpma ve bölme gibi işlemlerle birleştirmeyi öğreneceksin. Bileşke işleminde sağdaki fonksiyon önce uygulanır, bu yüzden sıra çok önemlidir. Dört işlemde ise tanım kümelerinin kesişimi ve paydanın sıfır olduğu noktaların dışlanması özellikle dikkat gerektirir. Konu, fonksiyonların tanım ve görüntü kavramlarının sağlam olmasına dayanır.

Temel Kavramlar

f: A→B ve g: B→C fonksiyonları verilsin. f'nin görüntü kümesi g'nin tanım kümesinde yer alıyorsa, önce f sonra g uygulanarak elde edilen g∘f: A→C fonksiyonuna g ile f'nin bileşkesi denir.

(g∘f)(x) = g(f(x))

• Bileşkede sağdaki fonksiyon önce uygulanır: (f∘g)(x) yazılışında önce g(x) bulunur.
• Bileşkenin tanım kümesi, f(x) değerleri g'nin tanım kümesine düşen x değerlerinden oluşur.
• Bileşke işleminin değişme özelliği yoktur: genellikle f∘g ≠ g∘f.
• Birleşme özelliği vardır: (f∘g)∘h = f∘(g∘h).
• Birim fonksiyon I(x) = x için f∘I = I∘f = f olur.
• f'nin tersi f⁻¹ varsa f∘f⁻¹ = f⁻¹∘f = I olur.

Temel Kavramlar (devam): Dört İşlem

f ve g fonksiyonlarının tanım kümeleri A ve B olsun. Toplama, çıkarma ve çarpma işlemleri A∩B üzerinde tanımlıdır. Bölmede ayrıca paydadaki fonksiyonun sıfır olduğu noktalar tanım kümesinden çıkarılır.

• Toplama ve çarpmada değişme ve birleşme özellikleri vardır: f+g = g+f, f·g = g·f.
• Çarpma toplama üzerine dağılır: f·(g+h) = f·g + f·h.
• Çıkarma ve bölmede değişme özelliği yoktur.
• Bileşke toplama üzerine dağılmaz: genellikle f∘(g+h) ≠ f∘g + f∘h.
• Bir noktadaki değer için önce ayrı ayrı değerler bulunur: (f+g)(a) = f(a) + g(a).