Bölünebilme Kriterleri, Asal Sayılar, EBOB ve EKOK

Konu Özeti

Bu konuda doğal sayıların bölünebilme kurallarını, asal sayıları ve asal çarpanlarına ayırmayı öğreneceksin. Bu kurallarla bir sayının hangi sayılara kalansız bölündüğünü bölme işlemi yapmadan anlayabilirsin. Daha sonra iki sayının en büyük ortak bölenini (EBOB) ve en küçük ortak katını (EKOK) bulmayı göreceksin. Bu araçlar kesir işlemlerinden günlük hayat problemlerine kadar pek çok yerde kullanılır.

Temel Kavramlar

a, b ve c doğal sayı olmak üzere a · b = c ise a ve b sayıları c'nin çarpanıdır (böleni). c ise a'nın ve b'nin katıdır. Bir sayının en küçük çarpanı 1, en büyük çarpanı kendisidir. Çarpanları sınırlı sayıdadır, katları ise sonsuz tanedir.

• 12'nin çarpanları: 1, 2, 3, 4, 6, 12
• 4'ün katları: 0, 4, 8, 12, 16, 20, ...
• Bir sayı kendisinin hem çarpanı hem katıdır.
• Eşit gruplara ayırma problemleri çarpanları, tekrar eden olaylar ise katları düşündürür.

Bölünebilme kuralları, bir sayının kalansız bölünüp bölünmediğini hızlıca anlamamızı sağlar. Aşağıdaki tabloyu ezberlemeden önce her kuralın neden işe yaradığını düşünmeye çalış.

1 ve kendisinden başka pozitif böleni olmayan, 1'den büyük doğal sayılara asal sayı denir. Birden fazla böleni olan 1'den büyük sayılara bileşik sayı denir. 1 ne asal ne de bileşiktir.

• 20'ye kadar asal sayılar: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19
• 2, tek çift asal sayıdır.
• Bir sayıyı asal çarpanlarına ayırmak için sayı, asal sayılara sırayla bölünür.
• Örnek gösterim: 60 = 2 · 2 · 3 · 5 = 2² · 3 · 5

Örnek: 84'ü asal çarpanlarına ayıralım. 84 ÷ 2 = 42, 42 ÷ 2 = 21, 21 ÷ 3 = 7, 7 ÷ 7 = 1. Buna göre 84 = 2² · 3 · 7 olur ve asal çarpanları 2, 3 ve 7'dir.

İki ya da daha fazla sayıyı aynı anda bölen sayılara ortak bölen denir. Bunların en büyüğüne en büyük ortak bölen (EBOB) denir. EBOB'u bulmak için sayılar asal çarpanlarına ayrılır ve ortak asal çarpanların en küçük üsleri çarpılır.

12 = 2² · 3 ve 18 = 2 · 3² → EBOB(12, 18) = 2 · 3 = 6

İki ya da daha fazla sayının ortak katlarının en küçüğüne (sıfırdan farklı) en küçük ortak kat (EKOK) denir. EKOK için tüm asal çarpanlar alınır ve ortak olanlarda en büyük üs seçilir.

EKOK(12, 18) = 2² · 3² = 36

• Parçalara ayırma, eşit parça, en çok kişi gibi ifadeler EBOB'u düşündürür.
• Aynı anda tekrar buluşma, birlikte başlama, en az sayı gibi ifadeler EKOK'u düşündürür.
• Aralarında asal iki sayının EBOB'u 1'dir; EKOK'u ise çarpımlarına eşittir.