9. Sınıf Benzer Üçgenler: Benzerlik, Tales, Öklid ve Pisagor

Konu Özeti

Bu konuda şekillerin dönüşümlerini, eş ve benzer üçgenleri tanıyacaksın. Eş üçgenlerde kenarlar ve açılar birebir eşitken, benzer üçgenlerde açılar eşit ve kenarlar orantılıdır. Tales, Öklid ve Pisagor teoremleri bu benzerlik fikrinden çıkar. Bu teoremler dik üçgen ve paralel doğru sorularının çoğunda anahtar rol oynar.

Temel Kavramlar

Bir şeklin yerini veya boyutunu değiştiren işlemlere geometrik dönüşüm denir. Öteleme, yansıma ve dönme şeklin boyutlarını değiştirmez; bu yüzden ilk şekil ile görüntüsü eştir. Homotetiyle şeklin boyutu değişir ama açılar korunur.

Eş üçgenlerde karşılıklı tüm kenarlar ve açılar eşittir. Bunu göstermek için tüm elemanları kontrol etmek gerekmez; aşağıdaki asgari koşullar yeterlidir.

• K.K.K.: Üç kenar karşılıklı eşitse üçgenler eştir.
• K.A.K.: İki kenar ve aralarındaki açı eşitse üçgenler eştir.
• A.K.A.: İki açı ve aralarındaki kenar eşitse üçgenler eştir.
• Eş üçgenlerde eşit açıların karşısındaki kenarlar da eşittir.

Benzer üçgenlerde karşılıklı açılar eşit, karşılıklı kenarlar orantılıdır. Benzerlik için asgari koşullar şunlardır:

• A.A.: İki açı karşılıklı eşitse üçgenler benzerdir (üçüncü açılar da eşit olur).
• K.A.K.: İki kenar orantılı ve aralarındaki açılar eşitse benzerdir.
• K.K.K.: Üç kenar orantılıysa benzerdir.

ABC ~ DEF ise AB/DE = BC/EF = AC/DF = k (benzerlik oranı)

Sık yapılan hata: Benzerlikte köşeleri sırayla yazmayı unutmak. ABC ~ DEF yazıldığında A↔D, B↔E, C↔F karşılıklıdır. Oranı kurarken eşit açıların karşısındaki kenarları eşleştir.

Temel Kavramlar (Devam)

Benzer üçgen oluşturmanın yollarından bazıları şunlardır:

• Bir kenara paralel doğru çizmek: ABC üçgeninde D, AB üzerinde; E, AC üzerinde ve DE // BC ise ADE ~ ABC olur (A ortak, karşılık gelen açılar eşit; A.A.).
• Her kenarı aynı k sayısıyla çarpmak: Kenarları k·a, k·b, k·c olan üçgen, kenarları a, b, c olan üçgene K.K.K. ile benzerdir.
• Homotetiyle büyütme/küçültme: Bir O merkezinden köşelere olan uzaklıklar k katına çıkarılırsa benzer üçgen oluşur.
• Dik üçgende hipotenüse inen yükseklik: Oluşan iki küçük üçgen hem birbirine hem de büyük üçgene benzerdir.

Tales Teoremi (MAT.9.4.4)

Paralel doğrular, iki kesen üzerinde orantılı doğru parçaları ayırır. Üçgende bir kenara paralel çizilen doğru diğer iki kenarı orantılı böler.

DE // BC ise AD/DB = AE/EC ve AD/AB = AE/AC

İspat fikri: DE // BC olduğundan ADE ile ABC üçgenlerinde A açısı ortaktır ve karşılık gelen açılar eşittir. A.A. ile ADE ~ ABC olur. Buradan AD/AB = AE/AC, işlemlerle de AD/DB = AE/EC bulunur.

Öklid ve Pisagor Teoremleri (MAT.9.4.4)

A açısı 90° olan ABC dik üçgeninde A'dan hipotenüse inen dikmenin ayağı H olsun. BH = p, HC = k, AH = h, AB = c, AC = b ve BC = a = p + k olsun. ABC, HBA ve HAC üçgenleri A.A. ile birbirine benzerdir.

Yükseklik (Öklid): h² = p · k

Dik kenar (Öklid): c² = p · a ve b² = k · a

Pisagor: a² = b² + c²

İspat: HBA ~ HAC olduğundan h/k = p/h, yani h² = p·k. ABC ~ HBA olduğundan c/a = p/c, yani c² = p·a. Benzer biçimde b² = k·a bulunur. Bu ikisi taraf tarafa toplanırsa b² + c² = a(p + k) = a² olur ve Pisagor teoremi elde edilir.