Eşlik, Benzerlik; Tales, Öklid ve Pisagor Teoremleri

Konu Özeti

Bu konuda şekillerin eş ve benzer olmasının ne anlama geldiğini ve bunu gösteren asgari koşulları öğreneceksin. Ardından Tales teoremiyle paralel doğruların ayırdığı orantılı parçaları inceleyeceksin. Öklid ve Pisagor teoremleriyle dik üçgenin kenar ve yükseklik ilişkilerini kuracaksın. Bu bilgiler LGS ve YKS geometri sorularının temelidir.

Temel Kavramlar

Geometrik dönüşüm: Düzlemde bir şekli yer değiştirerek ya da büyütüp küçülterek başka bir şekle taşıyan işlemdir. Öteleme, yansıma ve dönme şeklin biçimini ve boyutunu korur; ilk şekil ile görüntüsü eştir. Homotetide (merkezli büyütme ve küçültme) biçim korunur, boyut değişir; görüntü benzerdir.

Eşlik koşulları: İki üçgenin eş olması için karşılıklı kenarları ve açıları eşit olmalıdır. Tüm elemanları kontrol etmek gerekmez; aşağıdaki üç temel koşul yeterlidir.

• K.K.K: Üç kenarı karşılıklı eşit olan üçgenler eştir.
• K.A.K: İki kenarı ve aralarındaki açısı eşit olan üçgenler eştir.
• A.K.A: İki açısı ve aralarındaki kenarı eşit olan üçgenler eştir.

Benzerlik koşulları: Açılara ve kenar oranlarına bakılır. A.A (iki açı eşit), K.A.K (iki kenar oranı eşit ve aradaki açı eşit) ve K.K.K (üç kenar oranı eşit) koşulları benzerlik için yeterlidir.

Dikkat: Üç açısı eşit olan iki üçgen yalnızca benzerdir, eş olmak zorunda değildir. Benzer üçgenlerde kenar oranına benzerlik oranı denir ve alanlar oranı bu oranın karesidir.

Benzer üçgen oluşturma: ABC üçgeninde bir kenara paralel çizilen doğru, diğer iki kenarı keserek küçük bir üçgen oluşturur. DE ∥ BC ise ADE üçgeni ABC üçgenine benzerdir; A açısı ortaktır ve yöndeş açılar eşittir (A.A).

DE ∥ BC ise AD/AB = AE/AC = DE/BC

Dik üçgende hipotenüse ait yüksekliği çizmek üç benzer üçgen üretir. Bu benzerlikler Öklid teoremlerinin temelini oluşturur.

Tales Teoremi: Paralel doğrular, kendilerini kesen iki doğru üzerinde orantılı parçalar ayırır. Üçgende DE ∥ BC ise AD/DB = AE/EC yazılır.

DE ∥ BC ise AD/DB = AE/EC

Tales ispatı: ADE ve ABC üçgenleri A.A ile benzerdir; buradan AD/AB = AE/AC yazılır. AB = AD + DB ve AC = AE + EC yerine konup düzenlenirse AD/DB = AE/EC bulunur.

Öklid ve Pisagor Teoremleri: A açısı dik olan ABC üçgeninde [AH] ⊥ [BC] olsun. |BH| = p, |HC| = k, |AH| = h, |AB| = c, |AC| = b ve |BC| = a = p + k olur.

Yükseklik (Öklid): h² = p · k

Dik kenar (Öklid): c² = p · a ve b² = k · a

Pisagor: a² = b² + c²

İspat fikri: ABH ~ CAH benzerliğinden p/h = h/k, yani h² = p · k bulunur. ABC ~ HBA benzerliğinden c/a = p/c, yani c² = p · a olur. Benzer şekilde b² = k · a elde edilir.

Bu iki eşitlik taraf tarafa toplanırsa b² + c² = a(p + k) = a² bulunur; bu Pisagor teoremidir.