9. Sınıf Geometrik Dönüşümler: Eşlik, Benzerlik ve Temel Teoremler

Konu Özeti

Geometrik dönüşümler, bir şekli düzlemde başka bir yere taşıyan işlemlerdir. Öteleme, yansıma ve dönme şeklin boyutunu değiştirmez ve eşlik sağlar. Homotetik büyütme ve küçültme ise şeklin biçimini korur, boyutunu değiştirir ve benzerlik sağlar. Bu konuda üçgenlerde eşlik ve benzerlik koşulları ile Tales, Öklid ve Pisagor teoremleri birlikte kullanılır.

Temel Kavramlar

• Eş şekillerde karşılık gelen kenarlar ve açılar eşittir.
• Benzer şekillerde karşılık gelen açılar eşit, karşılık gelen kenarlar orantılıdır.
• Benzerlik oranı k ise çevreler oranı k, alanlar oranı k² olur.
• Eşlik, benzerlik oranının 1 olduğu özel durumdur.

Üçgenlerde Eşlik (MAT.9.4.2)

İki üçgenin eş olması için aşağıdaki asgari koşullardan biri yeterlidir.

• K.K.K.: Üç kenarı karşılıklı eşit olan üçgenler eştir.
• K.A.K.: İki kenarı ve bu kenarlar arasındaki açısı eşit olan üçgenler eştir.
• A.K.A.: İki açısı ve bu açılar arasındaki kenarı eşit olan üçgenler eştir.

Dikkat: K.K.A. eşlik vermez, çünkü eşit açı iki kenarın arasında değildir. A.A.A. ise yalnızca benzerlik verir, eşlik vermez.

Üçgenlerde Benzerlik (MAT.9.4.2, MAT.9.4.3)

• A.A.: İki açısı karşılıklı eşit olan üçgenler benzerdir (üçüncü açı da eşit çıkar).
• K.A.K.: İki kenarı orantılı ve bu kenarlar arasındaki açıları eşit olan üçgenler benzerdir.
• K.K.K.: Üç kenarı karşılıklı orantılı olan üçgenler benzerdir.

ABC ~ DEF ise AB/DE = BC/EF = AC/DF = k

Bir üçgenin bir kenarına paralel çizilen doğru, üçgene benzer küçük bir üçgen oluşturur. Bu benzerlik ortak açı ve yöndeş açılarla A.A. koşulundan gelir.

Tales Teoremi (MAT.9.4.4)

Bir üçgenin BC kenarına paralel çizilen DE doğrusu, AB ve AC kenarlarını orantılı böler. İspat fikri: ADE ve ABC üçgenleri A.A. ile benzerdir ve oranlar eşitlenir.

AD/DB = AE/EC ve AD/AB = AE/AC = DE/BC

Öklid ve Pisagor Teoremleri (MAT.9.4.4)

A köşesinde dik olan ABC üçgeninde AH ⊥ BC olsun. AB = c, AC = b, BC = a, BH = p ve HC = k diyelim. Yükseklik üçgeni birbirine ve ana üçgene benzer iki üçgene ayırır; bu benzerlikten Öklid bağıntıları çıkar.

h² = p·k

c² = p·a ve b² = k·a (a = p + k)

Öklid bağıntılarını taraf tarafa toplarsak c² + b² = a·(p + k) = a² elde edilir. Bu da Pisagor teoremini ispatlar.

a² = b² + c² (a hipotenüs)