9. Sınıf Eşlik ve Benzerlik: Dönüşümler, Koşullar, Tales–Öklid–Pisagor

Konu Özeti

Bu konuda şekillerin dönüşümlerini, iki üçgenin eş ya da benzer olma koşullarını ve bu koşullara dayanan Tales, Öklid ve Pisagor teoremlerini öğreneceksin. Eş şekiller aynı boyut ve biçimde, benzer şekiller ise biçimi aynı fakat boyutları orantılı olan şekillerdir. Üçgenlerde yalnızca birkaç elemanın eşleşmesiyle eşlik ya da benzerlik sonucuna ulaşabilirsin. Bu bilgiler LGS ve YKS'deki geometri sorularının temelini oluşturur.

Temel Kavramlar

Geometrik dönüşümler bir şeklin yerini, yönünü ya da boyutunu değiştirir. Öteleme, yansıma ve dönmede uzunluklar ve açılar korunur; sonuçta eş şekil elde edilir. Homotetide ise açılar korunur, uzunluklar belli bir k oranında değişir.

• Öteleme: şeklin her noktası aynı yönde ve aynı miktarda kayar.
• Yansıma: şekil bir doğruya göre ayna görüntüsüne taşınır; yönü tersine döner.
• Dönme: şekil bir merkez etrafında belli bir açı kadar çevrilir.
• Homoteti: şekil bir merkezden k oranında büyütülür (k > 1) ya da küçültülür (0 < k < 1).

Homotetide yeni uzunluk = k · eski uzunluk

Öteleme, yansıma ve dönme sonucunda şekil ile görüntüsü eştir. Homotetide şekil ile görüntüsü yalnızca benzerdir.

Üçgenlerde Eşlik Koşulları

İki üçgenin eş olduğunu göstermek için tüm elemanları kontrol etmek gerekmez. Aşağıdaki asgari koşullardan biri sağlanmak yeterlidir.

• K.K.K.: Üç kenarı karşılıklı olarak eşit olan üçgenler eştir.
• K.A.K.: İki kenarı ve bu kenarlar arasındaki açısı eşit olan üçgenler eştir.
• A.K.A.: İki açısı ve bu açılar arasındaki kenarı eşit olan üçgenler eştir.

Üçgenlerde Benzerlik Koşulları

Karşılıklı açıları eşit ve karşılıklı kenarları orantılı olan üçgenler benzerdir. Benzerlik oranı k, karşılıklı kenarların oranıdır. Asgari benzerlik koşulları şunlardır:

• A.A.: İki açısı karşılıklı eşit olan üçgenler benzerdir; üçüncü açılar da eşittir.
• K.A.K. (oranlı): İki kenarı orantılı ve aralarındaki açılar eşit ise üçgenler benzerdir.
• K.K.K. (oranlı): Üç kenarı orantılı olan üçgenler benzerdir.

ABC ~ DEF ise AB/DE = BC/EF = AC/DF = k

• Benzer üçgenlerde karşılıklı yüksekliklerin, kenarortayların ve çevrelerin oranı da k'dır.
• Alanların oranı k² olur.

Tales (Temel Orantı) Teoremi

Bir üçgenin bir kenarına paralel çizilen doğru, diğer iki kenarı orantılı parçalara ayırır. Paralellikten oluşan küçük üçgen büyük üçgene A.A. ile benzerdir.

DE ∥ BC ise AD/DB = AE/EC ve AD/AB = AE/AC = DE/BC

Öklid Teoremi

A köşesinde dik açı bulunan ABC üçgeninde AH hipotenüse indirilen yüksekliktir. BH = p ve HC = k olmak üzere ABH, CAH ve CBA üçgenleri birbirine benzerdir (A.A.). Bu benzerliklerden Öklid bağıntıları elde edilir.

Yükseklik: AH² = BH · HC

Dik kenarlar: AB² = BH · BC ve AC² = HC · BC

Pisagor Teoremi

Dik üçgende dik kenarların kareleri toplamı hipotenüsün karesine eşittir. İspat: AB² = BH · BC ve AC² = HC · BC eşitlikleri taraf tarafa toplanırsa AB² + AC² = BC · (BH + HC) = BC² bulunur.

a² = b² + c²