Üçgende Açı ve Kenar Özellikleri

Konu Özeti

Üçgen, doğrusal olmayan üç noktayı birleştiren doğru parçalarından oluşur. Bu konuda üçgenin iç açılarının toplamını, dış açı özelliğini ve kenar uzunluklarının birbirine bağlı olduğu kuralları öğreneceksin. Açılar ile kenarlar arasındaki ilişki, üçgen sorularının büyük kısmında kullanılır. Konuyu anlamak için formülleri ezberlemek yerine nedenlerini kavramaya çalış.

Temel Kavramlar

Bir üçgende köşeler A, B, C; bu köşelerin karşısındaki kenarlar a, b, c; köşelerdeki iç açılar ise A, B, C ile gösterilir. Kenar a, A açısının karşısındadır.

A + B + C = 180°

• Bir dış açı, kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir.
• Bir köşedeki iç açı ile dış açı bütünlerdir: iç + dış = 180°.
• Üçgenin dış açılarının toplamı (her köşeden bir dış açı alınırsa) 360° dir.
• Üçgende en az iki açı dar açıdır; bir üçgenin en fazla bir açısı dik veya geniş olabilir.

Dış açı = karşısındaki olmayan iki iç açının toplamı (örn. C köşesinin dış açısı = A + B)

Örnek: Bir üçgende A = 50° ve B = 60° ise C = 180° − 110° = 70° olur. C köşesindeki dış açı 180° − 70° = 110° dir; bu değer A + B = 50° + 60° = 110° ile aynıdır.

Kenar Özellikleri: Üçgen Eşitsizliği

Üçgenin herhangi bir kenarı, diğer iki kenarın uzunlukları toplamından küçük; farklarının mutlak değerinden büyüktür. Bu koşul sağlanmazsa üç uzunlukla üçgen çizilemez.

|b − c| < a < b + c

• Üç uzunluğun üçgen oluşturması için en uzun kenar, diğer ikisinin toplamından küçük olmalıdır.
• İki kenar uzunluğu verilince üçüncü kenar bu aralıkta kalır.
• Kenar uzunlukları tam sayı isteniyorsa aralığın uç değerleri dahil edilmez.

Çözümlü örnek: İki kenarı 7 cm ve 12 cm olan üçgende |12 − 7| < x < 12 + 7 yani 5 < x < 19 olur. x tam sayı ise 6, 7, …, 18 değerlerini alır; toplam 13 farklı değer vardır.

Sık yapılan hata: 3, 4, 8 uzunlukları bir üçgen oluşturmaz, çünkü 3 + 4 = 7 < 8 dir. Eşitlik durumu (örn. 3, 4, 7) da üçgen oluşturmaz.

Açı ve Kenar Arasındaki İlişki

Bir üçgende büyük açının karşısındaki kenar büyük, küçük açının karşısındaki kenar küçüktür. Eşit açıların karşısındaki kenarlar eşittir ve bunun tersi de doğrudur.

A > B ⇔ a > b

• En büyük açının karşısındaki kenar en uzun kenardır.
• En küçük açının karşısındaki kenar en kısa kenardır.
• Dik üçgende dik açı en büyük açıdır; hipotenüs en uzun kenardır.

Çözümlü örnek: ABC üçgeninde A = 70° ve B = 55° ise C = 55° dir. B = C olduğundan b = c olur. A en büyük açı olduğundan a en uzun kenardır: a > b = c.