Mutlak Değer Fonksiyonu ve Doğrusal Fonksiyonların Nitel Özellikleri

Konu Özeti

Bu konuda önce f(x) = x birim fonksiyonunu ve ondan türetilen doğrusal fonksiyonları inceleyeceksin. Eğim ve y eksenini kesim noktasının grafiği nasıl etkilediğini öğreneceksin. Ardından mutlak değer fonksiyonunu grafik üzerinden anlayıp doğrusal fonksiyonlarla ilişkilendireceksin. Son olarak bu bilgileri denklem ve eşitsizlik problemlerinde kullanacaksın.

Temel Kavramlar

f(x) = x fonksiyonuna birim (özdeşlik) fonksiyonu denir. Grafiği orijinden geçen ve eksenlerle 45° açı yapan doğrudur. Ondan türetilen doğrusal fonksiyonlar f(x) = ax + b biçimindedir (a ≠ 0).

f(x) = ax + b (a: eğim, b: y eksenini kestiği nokta)

• a > 0 ise fonksiyon artandır; x büyüdükçe f(x) büyür.
• a < 0 ise fonksiyon azalandır; x büyüdükçe f(x) küçülür.
• |a| büyüdükçe doğru y eksenine yaklaşır, yani daha diktir.
• b, y eksenini (0, b) noktasında kesmesini gösterir.
• x eksenini kestiği nokta: ax + b = 0 ise x = −b/a.
• a = 0 ise f(x) = b sabit fonksiyondur; grafiği x eksenine paraleldir.
• a ≠ 0 için doğrusal fonksiyonlar bire bir ve örtendir; sabit fonksiyon (a = 0) bire bir değildir.

Temel Kavramlar: Mutlak Değer Fonksiyonu

Mutlak değer, bir sayının sayı doğrusunda 0'a olan uzaklığıdır; bu yüzden asla negatif olmaz. f(x) = |x| fonksiyonu parçalı olarak tanımlanır.

|x| = x (x ≥ 0 ise), |x| = −x (x < 0 ise)

• f(x) = |x| grafiği O(0, 0) köşeli, V biçimindedir; y eksenine göre simetriktir (çift fonksiyon).
• Değer kümesi [0, ∞) dur; en küçük değer 0'dır ve x = 0'da alınır.
• x < 0 için azalan, x > 0 için artandır; x = 0 kırılma noktasıdır.
• |x| = |−x| ve |a·b| = |a|·|b| özellikleri geçerlidir.

f(x) = |ax + b| grafiğini çizmek (doğrusal fonksiyonla analoji)

• Önce g(x) = ax + b doğrusunu düşün.
• g(x) ≥ 0 olan bölgede grafik aynen kalır.
• g(x) < 0 olan bölgede grafik x eksenine göre yansıtılır (−g(x) çizilir).
• Köşe noktası ax + b = 0 olan x = −b/a değerindedir; köşe (−b/a, 0) dır.
• Parçalı yazım: ax + b ≥ 0 için ax + b; ax + b < 0 için −(ax + b).