Denge ve Denge Şartları: Tork, Kütle Merkezi, Ağırlık Merkezi

Konu Özeti

Bir cisim ötelenme ve dönme hareketi yapmıyorsa dengededir. Bu konuda cisme etki eden kuvvetlerin ve torkların nasıl sıfırlandığını öğreneceksin. Kütle merkezi ve ağırlık merkezi kavramları, cismin nerede dengede kalacağını ve devrilip devrilmeyeceğini anlamana yardımcı olur. Konu, günlük hayattaki kaldıraç, tahterevalli ve kapı gibi örneklerle doğrudan ilişkilidir.

Temel Kavramlar

• Ötelenme dengesi: Cisme etki eden net kuvvet sıfırdır.
• Dönme dengesi: Herhangi bir noktaya göre net tork (moment) sıfırdır.
• Düzlemde: ΣFx = 0, ΣFy = 0 ve Στ = 0 şartları birlikte sağlanır.
• Kuvvetler zıt yönlü olsa da aynı doğrultuda değillerse cisim dönebilir; tork şartı bu yüzden gereklidir.

ΣF = 0 ve Στ = 0

Tork, kuvvetin cismi bir eksen etrafında döndürme etkisidir. Büyüklüğü kuvvet ile kuvvetin dönme eksenine dik uzaklığının (kuvvet kolu) çarpımına eşittir. Birimi N·m’dir.

τ = F · d (d: kuvvetin dönme eksenine dik uzaklığı)

• Kuvvet çubuğa dik değilse τ = F · ℓ · sinθ yazılır; θ kuvvet ile çubuk arasındaki açıdır.
• Kuvvetin doğrultusu dönme ekseninden geçiyorsa tork sıfırdır.
• Saat yönündeki ve saat yönünün tersindeki torklar zıt işaretli alınır.
• Dönme dengesinde saat yönü torkları toplamı, saat yönünün tersi torkları toplamına eşittir.
• Tork seçilen eksene bağlıdır; denge varsa her eksene göre net tork sıfırdır. Bilinmeyen kuvvetin uygulandığı noktayı eksen seçmek çözümü kolaylaştırır.

Aşağıdaki şemada 4 m uzunluğundaki düzgün çubuk, sol uçtan 1 m uzaktaki destek üzerinde dengededir. Çubuğun ağırlığı ortasından etki eder.

Denge Çeşitleri

• Taban alanı geniş ve ağırlık merkezi alçak olan cisimler daha kararlıdır.
• Ağırlık merkezinden geçen düşey doğru taban sınırları içinde kalıyorsa cisim devrilmez.
• Cisim yatay düzlemde, ağırlık merkezinin düşey izdüşümü taban dışına çıkarsa devrilir.

Kütle Merkezi ve Ağırlık Merkezi

• Kütle merkezi: Cismin bütün kütlesinin toplandığı varsayılan noktadır. Dış kuvvetin etkisiyle cisim sanki bu noktada toplanmış gibi ötelenme hareketi yapar.
• Ağırlık merkezi: Cismin bütün ağırlığının etki ettiği varsayılan noktadır. Yer çekimi ağırlık kuvvetinin bileşke uygulama noktasıdır.
• Düzgün yer çekimi alanında (g sabit) kütle merkezi ile ağırlık merkezi çakışır.
• Homojen ve simetrik cisimlerde merkez geometrik merkezdir: çubuğun ortası, kürenin merkezi, dikdörtgen levhanın köşegenlerinin kesişimi.
• Kütle merkezi cismin dışında olabilir (halka, içi boş cisimler).
• Cisim asılı dengede ise ağırlık merkezi asılma noktasının tam altındadır.

Kütle Merkezi Hesabı

Kütleleri m₁, m₂, ... ve konumları x₁, x₂, ... olan noktasal cisimlerden oluşan sistemin kütle merkezi, kütle ağırlıklı ortalama ile bulunur. Düzlemde y koordinatı da aynı biçimde hesaplanır.

x_km = (m₁x₁ + m₂x₂ + ...) / (m₁ + m₂ + ...)

y_km = (m₁y₁ + m₂y₂ + ...) / (m₁ + m₂ + ...)

• Bileşik cisimlerde her parçanın kütlesi kendi merkezine yerleştirilir, sonra yukarıdaki formül uygulanır.
• Cisimden bir parça çıkarılmışsa çıkarılan parça negatif kütle gibi düşünülür.
• Düzgün cisimlerde kütle yerine alan veya uzunluk kullanılabilir (aynı cins ve aynı kalınlıkta ise).
• Ağırlık merkezi için kütle yerine ağırlık (mg) alınır; g sabitse sonuç aynıdır.