Katı Cisimler: Prizma, Piramit, Silindir, Koni, Küre

Konu Özeti

Katı cisimler, uzunluk, alan ve hacim ölçüleriyle incelenen üç boyutlu şekillerdir. Bu konuda dik prizma, dik piramit, silindir, koni ve küre ele alınır. Her cismin yüzey alanı ve hacim formülleri birbirine benzer bir mantıkla kurulur. Amaç, verilen bir cisimde hangi bilgilerin gerektiğini doğru seçebilmektir.

Temel Kavramlar

Taban çokgenleri eş ve paralel, yan yüzleri tabana dik olan prizmaya dik prizma denir. Yan yüzler dikdörtgendir ve yükseklik h, yan kenarın uzunluğudur.

Hacim = A_taban · h

Yanal alan = Taban çevresi · h

Toplam alan = Yanal alan + 2 · A_taban

• Dikdörtgenler prizması (a, b, c): V = a · b · c, toplam alan = 2(ab + bc + ac), cisim köşegeni = √(a² + b² + c²)
• Küp (a): V = a³, toplam alan = 6a², cisim köşegeni = a√3, yüz köşegeni = a√2
• Eşkenar üçgen tabanlı prizmada taban alanı = (a²√3)/4

Tepe noktası ortak bir noktada birleşen üçgenlerle sınırlanan cisim piramittir. Dik piramitte tepe noktasının tabana dik izdüşümü tabanın bir noktasındadır. Düzgün piramitte taban düzgün çokgendir, izdüşüm tabanın merkezidir ve yan yüzler eş ikizkenar üçgendir.

Hacim = (1/3) · A_taban · h

Yanal alan (düzgün piramit) = (1/2) · taban çevresi · l

• h: piramidin yüksekliği, l: yan yüz yüksekliği (apothem), r: taban merkezinden kenara uzaklık ve l² = h² + r² bağıntısı vardır
• Kare tabanlı düzgün piramitte taban kenarı a ise r = a/2 olur
• Aynı taban ve yükseklikteki prizmanın hacmi, piramidin hacminin 3 katıdır

Silindir, Koni ve Küre (11.6.1.1)

Dik dairesel silindirde taban yarıçapı r ve yükseklik h kullanılır. Dik dairesel koninin ana doğrusu l ile gösterilir ve l² = r² + h² bağıntısı geçerlidir. Küre ise tek bir yarıçapla belirlenir.

• Silindirin açılımı bir dikdörtgendir; boyutları 2πr ve h'dir
• Koninin yanal yüzü açılımda daire dilimidir; yarıçapı l, yay uzunluğu 2πr'dir
• Aynı r ve h için koninin hacmi silindirin hacminin 1/3'üdür
• Kürenin yarıçapı 2 katına çıkarsa alanı 4 katına, hacmi 8 katına çıkar