İki Fonksiyonun Bileşkesi ve Bir Fonksiyonun Tersi (TYT-AYT)

Konu Özeti

Bu konuda iki fonksiyonu art arda uygulamayı ve bir fonksiyonun etkisini geri alan ters fonksiyonu öğreneceksin. Bileşke fonksiyon, bir fonksiyonun çıktısını diğerine girdi olarak vermekle elde edilir. Ters fonksiyonun var olması için fonksiyonun bire bir ve örten olması gerekir. Bu nedenle önce bu iki kavramı sağlam bilmek önemlidir.

Temel Kavramlar

1. Bire Bir ve Örten Fonksiyonlar

f: A → B bir fonksiyon olsun. Ters fonksiyonun var olması için f hem bire bir hem örten olmalıdır.

• Bire bir: A'daki farklı elemanların görüntüleri farklıdır. f(x₁) = f(x₂) ise x₁ = x₂ olur.
• Örten: Değer kümesindeki (B) her elemanın tanım kümesinde en az bir öncülü vardır. Yani f(A) = B olur.
• Birim (özdeş) fonksiyon f(x) = x hem bire bir hem örtendir.
• Sabit fonksiyon bire bir değildir (tanım kümesinde en az 2 eleman varsa) ve genellikle örten değildir.

Sonlu kümelerde sayma

• s(A) = m, s(B) = n ise bire bir fonksiyon sayısı n·(n−1)·…·(n−m+1) dir. Bunun için m ≤ n olmalıdır.
• Bire bir ve örten olabilmesi için s(A) = s(B) olmalıdır. Bu durumda fonksiyon sayısı n! dir.
• Örten fonksiyon için s(A) ≥ s(B) olmalıdır.

Gerçek sayılarda kontrol

• f(x) = ax + b (a ≠ 0) fonksiyonu ℝ → ℝ için hem bire bir hem örtendir.
• f(x) = x² fonksiyonu ℝ → ℝ için ne bire birdir ne de örtendir. Çünkü f(2) = f(−2) = 4 olur ve negatif değerler alınmaz.
• Bire birlik testi: f(x₁) = f(x₂) eşitliğinden x₁ = x₂ çıkarılabiliyorsa fonksiyon bire birdir.

Örnek: A = {1, 2, 3}, B = {a, b, c, d} olsun. A'dan B'ye bire bir fonksiyon sayısı 4·3·2 = 24 tür. Bu fonksiyonlar örten olamaz, çünkü s(A) < s(B) dir.

2. Bileşke Fonksiyon

f: A → B ve g: B → C fonksiyonları için önce f, sonra g uygulanır. Bileşke fonksiyon (g∘f): A → C dir.

(g∘f)(x) = g(f(x))

• Bileşke işlemi sağdan sola okunur: (f∘g)(x) için önce g uygulanır.
• Değişme özelliği yoktur: genellikle f∘g ≠ g∘f.
• Birleşme özelliği vardır: (f∘g)∘h = f∘(g∘h).
• Birim fonksiyon I(x) = x için f∘I = I∘f = f olur.
• f bire bir ve g bire bir ise g∘f de bire birdir. f ve g örten ise g∘f de örtendir.

Bileşke ile denklem çözme

• (f∘g)(x) verilip f(x) isteniyorsa g(x) = t alınır, x t cinsinden yazılır.
• (f∘g)(x) verilip g(x) isteniyorsa f'in tersi kullanılır: g(x) = f⁻¹((f∘g)(x)).
• Sayısal değer isteniyorsa içten dışa doğru sırayla hesap yapılır.

Çözümlü örnek: f(x) = 2x + 3 ve g(x) = x² − 1 olsun. (f∘g)(x) = f(x² − 1) = 2x² + 1 olur. (g∘f)(x) = g(2x + 3) = 4x² + 12x + 8 olur. Görüldüğü gibi f∘g ≠ g∘f. (f∘g)(2) = 2·4 + 1 = 9 bulunur.

3. Ters Fonksiyon

f: A → B bire bir ve örten ise f⁻¹: B → A ters fonksiyonu vardır. f(a) = b ise f⁻¹(b) = a olur.

f(a) = b ⇔ f⁻¹(b) = a

(f∘f⁻¹)(x) = (f⁻¹∘f)(x) = x

Ters fonksiyonu bulma adımları

• y = f(x) yazılır.
• x ve y cinsinden yalnız bırakılır (x çekilir).
• x ile y yer değiştirilir; elde edilen ifade f⁻¹(x) tir.

Grafikte f ile f⁻¹ grafikleri y = x doğrusuna göre birbirinin aynasıdır. Bu bilgi, ters fonksiyonun grafiğini çizerken kontrol aracı olarak kullanılabilir.

Sık kullanılan ters formülleri

Özellikler

• (f⁻¹)⁻¹ = f
• (f∘g)⁻¹ = g⁻¹∘f⁻¹ (sıra tersine döner).
• f⁻¹(x) = k eşitliği için f(k) = x denklemi çözülür. Böylece ters bulmadan da sonuca gidilebilir.