Önermeler ve Bileşik Önermeler Konu Notu

Konu Özeti

Önermeler, matematiğin ve mantığın temel yapı taşıdır. Doğru ya da yanlış olduğu kesin olarak belirlenebilen ifadelere önerme denir. Bu konuda önermelerin değilini, bileşik önermeleri, koşullu ve iki yönlü koşullu önermeleri ve niceleyicileri öğreneceksin. Bu bilgiler TYT mantık sorularında doğrudan kullanılır.

Temel Kavramlar

Doğru ya da yanlış kesin bir hüküm bildiren ifadelere önerme denir. Önermeler genellikle p, q, r harfleriyle gösterilir. Soru, ünlem ve değeri belirsiz ifadeler önerme değildir.

• Doğru önermenin doğruluk değeri 1 (D), yanlış önermenin doğruluk değeri 0 (Y)'dır.
• '2 + 3 = 5' doğru bir önermedir. 'Türkiye'nin başkenti İzmir'dir' yanlış bir önermedir.
• 'x + 2 = 5' gibi değişken içeren ifadeler, değişkene değer verilmeden önerme sayılmaz.
• Doğruluk değerleri aynı olan iki önerme denktir: p ≡ q. Örneğin '2 çifttir' ile '3 < 5' denktir, ikisi de doğrudur.

p' (¬p): p doğruysa p' yanlış, p yanlışsa p' doğrudur ; (p')' ≡ p

Sık yapılan hata: 'Her sayı çifttir' önermesinin değili 'Her sayı tektir' değildir. Doğrusu 'Çift olmayan en az bir sayı vardır' biçimindedir.

Bileşik önerme: En az iki önermenin bağlaçlarla birleştirilmesiyle oluşan önermedir. Bağlaçların doğruluk değerleri aşağıdaki gibidir.

• p ∧ q (p ve q): yalnızca ikisi de doğruyken doğrudur.
• p ∨ q (p veya q): en az biri doğruyken doğrudur, ikisi de yanlışken yanlıştır.
• p ⊻ q (p ya da q): doğruluk değerleri farklıysa doğru, aynıysa yanlıştır.
• De Morgan kuralları: (p ∧ q)' ≡ p' ∨ q' ve (p ∨ q)' ≡ p' ∧ q'.

(p ∧ q)' ≡ p' ∨ q' ; (p ∨ q)' ≡ p' ∧ q'

Koşullu önerme: p ⇒ q (eğer p ise q) yalnızca p doğru, q yanlış iken yanlıştır. İki yönlü koşullu önerme p ⇔ q (p ancak ve ancak q) ise iki değer aynıyken doğrudur.

• p ⇒ q ≡ p' ∨ q
• (p ⇒ q)' ≡ p ∧ q'
• Kontrapozitif q' ⇒ p', p ⇒ q ile denktir. Karşıt (ters) önerme q ⇒ p ise denk değildir.
• p ⇔ q ≡ (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)

Niceleyiciler: ∀ (her) bir kümenin bütün elemanları için geçerli olduğunu, ∃ (bazı) en az bir eleman için geçerli olduğunu belirtir. Örneğin ∀x ∈ ℝ, x² ≥ 0 doğrudur, ∃x ∈ ℝ, x² = 4 de doğrudur.

(∀x, p(x))' ≡ ∃x, p(x)' ; (∃x, p(x))' ≡ ∀x, p(x)'

• Tanım: Bir kavramın anlamını açık ve kesin biçimde belirleyen ifadedir.
• Aksiyom: Doğruluğu kabul edilen, ispatı istenmeyen temel önermedir. Örneğin iki noktadan bir doğru geçer.
• Teorem: Aksiyom, tanım ve önceden ispatlanmış teoremlerle doğruluğu gösterilen önermedir. Genellikle 'hipotez ⇒ hüküm' biçimindedir.
• İspat: Bir teoremin doğruluğunu mantıksal adımlarla gösterme sürecidir. Doğrudan ispat ve olmayana ergi yöntemleri kullanılır.
• Bir önermenin yanlış olduğunu göstermek için tek bir karşı örnek yeterlidir.