Polinom Kavramı ve Polinomlarla İşlemler: Ayrıntılı Konu Notu (TYT-AYT)

Konu Özeti

Polinomlar, x değişkeninin doğal sayı kuvvetlerinden ve gerçek sayı katsayılarından oluşan ifadelerdir. Bu konuda polinomun derecesi, katsayıları ve sabit terimi gibi temel kavramları öğrenir, ardından polinomlarla toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemlerini yaparsınız. TYT ve AYT'de hem işlem becerisi hem de katsayılar üzerinden kurulan hızlı çözümler sık sorulur.

Temel Kavramlar

a₀, a₁, ..., aₙ gerçek sayılar ve n doğal sayı olmak üzere P(x) = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + ... + a₁x + a₀ biçimindeki ifadelere bir değişkenli polinom denir.

• ak sayılarına katsayı, ak·x^k ifadelerine terim denir.
• an ≠ 0 ise an'e baş katsayı, a₀'a sabit terim denir.
• Derece: x'in en büyük üssüdür; der[P(x)] = n yazılır.
• Sabit polinom P(x) = c (c ≠ 0) için derece 0'dır. P(x) = 0 sıfır polinomudur ve derecesi tanımsızdır.
• x² + 3x + 1 polinomdur; x⁻¹ + 2, √x + 1 ve 1/x + x ifadeleri polinom değildir, çünkü x'in kuvvetleri doğal sayı değildir.

Katsayılar toplamı = P(1) Sabit terim = P(0)

Çift dereceli terimlerin katsayıları toplamı = [P(1) + P(−1)] / 2 Tek dereceli terimlerin katsayıları toplamı = [P(1) − P(−1)] / 2

İki polinomun eşit olması için aynı dereceli terimlerin katsayılarının tek tek eşit olması gerekir. Bu yüzden P(x) = Q(x) eşitliğinde x'in her kuvveti için katsayılar karşılaştırılır.

İpucu: P(x) = (2x − 1)³ · (x + 3) için katsayılar toplamı P(1) = 1 · 4 = 4'tür. Sabit terim P(0) = (−1)³ · 3 = −3'tür. Derece 3 + 1 = 4'tür.

Derecesi 3 olan P(x) = x³ − 3x polinomunun grafiği aşağıdadır. Grafik x eksenini −√3, 0 ve √3 noktalarında keser.

Toplama, Çıkarma ve Çarpma

Toplama ve çıkarmada aynı dereceli terimlerin katsayıları toplanır ya da çıkarılır. Çıkarmada ikinci polinomun her teriminin işareti değişir. Çarpmada her terim diğer polinomun her terimiyle çarpılır, sonra benzer terimler toplanır.

• Dereceler farklıysa der[P ± Q] = max(der P, der Q) olur.
• Dereceler eşitse baş katsayılar birbirini götürebilir ve derece küçülebilir.
• P(x) = 3x² + 2x − 1 ve Q(x) = x² − 5x + 4 için P + Q = 4x² − 3x + 3, P − Q = 2x² + 7x − 5 olur.

der[P(x) · Q(x)] = der[P] + der[Q]

der[P(x)ᵏ] = k · der[P(x)]

İpucu: (x + 2)(x² − x + 3) = x³ − x² + 3x + 2x² − 2x + 6 = x³ + x² + x + 6 olur. Derece 1 + 2 = 3'tür. Sık karıştırılan nokta: der[P + Q] = der[P] + der[Q] yazmak yanlıştır; derecelerin toplanması yalnızca çarpmada geçerlidir.

Polinomlarda Bölme

P(x) polinomu, sıfır olmayan Q(x) polinomuna bölündüğünde bölüm B(x) ve kalan K(x) olur. Bölme işlemi yapılırken polinomlar x'in azalan kuvvetlerine göre sıralanır ve eksik terimlere 0 katsayısı yazılır.

P(x) = Q(x) · B(x) + K(x)

• der[K] < der[Q] olmalıdır ya da K = 0 olmalıdır.
• der[B] = der[P] − der[Q] olur.
• K(x) = 0 ise P(x), Q(x) ile tam bölünür.
• Q(x) birinci dereceden ise kalan bir sabit sayıdır.

Bölme adımları şöyledir: (1) P'nin baş terimini Q'nun baş terimine bölerek bölümün ilk terimini bulun. (2) Bu terimi Q ile çarpıp P'den çıkarın. (3) Kalanın derecesi Q'nun derecesinden küçük olana kadar aynı işlemi tekrarlayın.

Çözümlü örnek: P(x) = 2x³ + x² − 5x + 3 polinomunu (x − 1)'e bölelim. 2x³ ÷ x = 2x²; 2x²(x − 1) = 2x³ − 2x², kalan 3x² − 5x + 3. 3x² ÷ x = 3x; 3x(x − 1) = 3x² − 3x, kalan −2x + 3. −2x ÷ x = −2; −2(x − 1) = −2x + 2, kalan 1. Bölüm B(x) = 2x² + 3x − 2, kalan K = 1'dir. Kontrol: P(1) = 2 + 1 − 5 + 3 = 1.