Kümelerde Temel Kavramlar: Alt Küme ve Eşitlik (TYT)

Konu Özeti

Küme, iyi tanımlanmış nesnelerin topluluğudur. Bu konuda kümenin elemanları, alt küme ilişkisi ve iki kümenin eşitliği öğrenilir. Alt küme sayısı ve eşitlik soruları TYT'de sık karşımıza çıkar. Aşağıda her kavramı tanımlayıp çözümlü örneklerle pekiştireceğiz.

Temel Kavramlar

Bir kümede aynı eleman yalnızca bir kez yazılır ve elemanların sırası önemli değildir. Kümeler liste yöntemi, ortak özellik yöntemi ya da Venn şeması ile gösterilir.

• a eleman A kümesine aittir: a ∈ A; ait değilse a ∉ A.
• Liste yöntemi: A = {1, 2, 3}
• Ortak özellik yöntemi: A = {x : x tek doğal sayı, x < 6}
• Eleman sayısı s(A) ile gösterilir. Örneğin A = {1, 2, 3} için s(A) = 3.
• Boş küme ∅ veya { } ile gösterilir ve s(∅) = 0'dır.
• Evrensel küme E, konuşulan tüm elemanları içerir. Eleman sayısı doğal sayı olan küme sonludur; sonlu olmayan küme sonsuzdur.

Dikkat: {∅} kümesi boş değildir; bir elemanı vardır (∅), yani s({∅}) = 1. Benzer şekilde {0} kümesi de boş değildir ve s({0}) = 1.

A kümesinin her elemanı B kümesinin de elemanı ise A, B'nin alt kümesidir ve A ⊆ B yazılır. A'da olup B'de olmayan en az bir eleman varsa A ⊄ B yazılır.

• ∅ ⊆ A ve A ⊆ A: her küme kendisinin ve boş kümenin alt kümesidir.
• A ⊆ B ve B ⊆ C ise A ⊆ C.
• A ⊆ B ve A ≠ B ise A, B'nin öz alt kümesidir.
• Küme ilişkisi için ⊆, eleman ilişkisi için ∈ kullanılır: 1 ∈ {1, 2} ama {1} ⊆ {1, 2}.

s(A) = n ⇒ alt küme sayısı = 2ⁿ

s(A) = n ⇒ öz alt küme sayısı = 2ⁿ − 1

n elemanlı bir kümenin k elemanlı alt kümelerinin sayısı kombinasyonla bulunur. Belirli r elemanın alt kümede bulunduğu ya da bulunmadığı durumlarda kalan n − r eleman serbesttir ve alt küme sayısı 2ⁿ⁻ʳ olur.

k elemanlı alt küme sayısı = C(n, k) = n! / (k!(n − k)!)

İki küme, her biri diğerinin alt kümesi ise eşittir. Yani A ⊆ B ve B ⊆ A olduğunda A = B olur.

A = B ⇔ (A ⊆ B ve B ⊆ A)

• Eşit kümelerin eleman sayıları eşittir: A = B ⇒ s(A) = s(B). Tersi her zaman doğru değildir.
• Eşitlik sorularında aynı elemanlar eşleştirilir ve bilinmeyenler için denklem kurulur.
• Bulunan değerler kümeye yerleştirilir; kümede aynı eleman iki kez yer alamaz.
• Örnek: {1, 2, 3} = {3, 1, 2} = {1, 1, 2, 3}.