Çarpanlara Ayırma ve Rasyonel İfadelerin Sadeleştirilmesi

Konu Özeti

Çarpanlara ayırma, bir polinomu daha düşük dereceli polinomların çarpımı biçiminde yazma işlemidir. Bu konu cebirsel ifadelerin sadeleştirilmesinin ve denklem çözmenin temelidir. Rasyonel ifadeler de pay ve paydanın çarpanlarına ayrılmasıyla sadeleştirilir. TYT'de ortak çarpan, özdeşlik ve gruplama soruları; AYT'de ise rasyonel ifadeler sıkça karşınıza çıkar.

Temel Kavramlar

Çarpanlara ayırmaya her zaman ortak çarpan kontrolüyle başlayın. Ortak çarpanı paranteze aldıktan sonra parantez içinde başka bir özdeşlik olup olmadığına bakın.

• Ortak çarpan paranteze alma: ax + ay = a(x + y)
• Gruplama: ax + ay + bx + by = a(x + y) + b(x + y) = (a + b)(x + y)
• Terimler arasında işaret ve kuvvet düzenine bakarak özdeşlik arayın
• Üç terimli ifadelerde çarpımı c, toplamı b olan iki sayıyı bulun

ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂) (x₁, x₂ denklemin kökleri)

Dikkat: a² + b² ifadesi gerçek sayılarda çarpanlarına ayrılmaz; (a + b)² ile karıştırmayın. Ortak çarpanı aldıktan sonra parantez içinde özdeşlik olup olmadığına tekrar bakın: 2x² − 18 = 2(x² − 9) = 2(x − 3)(x + 3).

Rasyonel İfadelerin Sadeleştirilmesi

Pay ve paydası polinom olan A(x)/B(x) biçimindeki ifadeye rasyonel ifade denir (B(x) ≠ 0). Sadeleştirmek için pay ve payda önce çarpanlarına ayrılır, sonra ortak çarpanlar sadeleştirilir. Toplam veya fark halinde terimler sadeleşmez; yalnızca çarpanlar sadeleşir.

• Paydayı sıfır yapan değerler tanım kümesi dışında bırakılır
• Sadeleştirmeden önce paydayı sıfır yapan değerleri not edin
• Toplama ve çıkarmada paydalar çarpanlarına ayrılıp EKOK ile eşitlenir
• Çarpmada pay pay ile, payda payda ile çarpılır; bölmede ikinci ifadenin tersiyle çarpılır

(x² − a²)/(x − a) = x + a (x ≠ a)

Çözümlü örnek: (x² − 9)/(x² + x − 6) ifadesinde pay (x − 3)(x + 3), payda (x + 3)(x − 2) olur. x + 3 sadeleşince (x − 3)/(x − 2) kalır; x ≠ −3 ve x ≠ 2.