TYT Matematik: Birinci Dereceden Denklemler ve Eşitsizlikler

Konu Özeti

Birinci dereceden denklemler, bilinmeyenin üssü 1 olan eşitliklerdir; eşitsizlikler ise iki ifadenin <, >, ≤ ya da ≥ ilişkisiyle karşılaştırılmasıdır. Bu konuda aralık kavramını, mutlak değerli ifadeleri ve iki bilinmeyenli sistemleri öğreneceksin. TYT'de bu konular sayı doğrusu ve grafik sorularıyla birlikte sık çıkar. Bu notta her kuralı örnekle ve adım adım gösteriyoruz.

Temel Kavramlar

Aralık: Gerçek sayılar kümesinin belirli bir bölümüne aralık denir. Uç noktanın dahil olup olmamasına göre parantez türü değişir.

[a, b] kapalı aralık (a ve b dahil); (a, b) açık aralık (a ve b dahil değil)

• Sonsuz (∞) ve eksi sonsuz (-∞) bir sayı değildir; yanlarına her zaman açık parantez konur.
• Kesişim (∩) iki aralığın ortak kısmı, birleşim (∪) ise en az birinde bulunan kısımdır.
• Örnek: [1, 5) ∩ (3, 8] = (3, 5); [1, 5) ∪ (3, 8] = [1, 8].

Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem ax + b = 0 biçimindedir ve a ≠ 0 ise tek çözümü vardır.

ax + b = 0 (a ≠ 0) ⇒ x = -b / a

• Terimi bir taraftan diğer tarafa atarken işaret değişir.
• a = 0 ise: b = 0 ise sonsuz çözüm (çözüm kümesi ℝ), b ≠ 0 ise çözüm yoktur (boş küme).
• Eşitsizlikte her iki tarafı negatif bir sayıyla çarpıp bölünce eşitsizliğin yönü değişir.
• Eşitsizliğin çözüm kümesi genellikle aralık olarak yazılır.

Mutlak değer, bir sayının sayı doğrusundaki sıfıra uzaklığıdır; bu nedenle her zaman 0 veya pozitiftir.

|x| = x (x ≥ 0 ise), |x| = -x (x < 0 ise)

a > 0 için: |x| < a ⇔ -a < x < a; |x| > a ⇔ x < -a veya x > a

İki bilinmeyenli sistem: İki denklemin ortak çözümü aranır; bu çözüm (x, y) sıralı ikilisidir.

• Yok etme yöntemi: Denklemler uygun sayılarla çarpılıp taraf tarafa toplanarak bir bilinmeyen yok edilir.
• Yerine koyma yöntemi: Bir denklemden bir bilinmeyen çekilip diğerinde yerine yazılır.
• a1/a2 = b1/b2 ≠ c1/c2 ise çözüm yoktur (paralel doğrular); a1/a2 = b1/b2 = c1/c2 ise sonsuz çözüm vardır.

İki bilinmeyenli eşitsizlikte çözüm, doğrunun bir yanındaki bölgedir. ≤ veya ≥ ise doğru düz, < veya > ise kesikli çizilir ve (0, 0) noktası denenir.