İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler: Kökler, Çözüm ve Katsayılar

Konu Özeti

Bu konuda ax² + bx + c = 0 biçimindeki denklemleri tanıyacak ve çözmeyi öğreneceksiniz. Kökleri çarpanlara ayırma, tam kareye tamamlama ve diskriminant yöntemiyle bulabileceksiniz. Ayrıca kökler ile katsayılar arasındaki toplam ve çarpım bağıntılarını kullanarak köklerle işlem yapmayı göreceksiniz. Bu bilgiler TYT ve AYT'de sık karşınıza çıkar.

Temel Kavramlar

a, b, c gerçek sayı ve a ≠ 0 olmak üzere ax² + bx + c = 0 biçimindeki denklemlere ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Denklemi sağlayan x değerlerine kök, köklerin kümesine çözüm kümesi denir.

ax² + bx + c = 0, a ≠ 0

• a: x² in katsayısı, b: x in katsayısı, c: sabit terimdir.
• a = 0 olursa denklem birinci dereceden olur; bu yüzden a ≠ 0 şartı vardır.
• Örnek: (m − 2)x² + 3x − 1 = 0 denkleminin ikinci dereceden olması için m ≠ 2 olmalıdır.
• Katsayıları okumadan önce denklemi sıfıra eşitleyin. Örnek: x² = 3x − 5 ise x² − 3x + 5 = 0 yazılır.

Denklemi çözmek için üç yöntem kullanılır: çarpanlara ayırma, tam kareye tamamlama ve diskriminant formülü.

• Çarpanlara ayırma: x² − 5x + 6 = 0 → (x − 2)(x − 3) = 0 → x = 2 veya x = 3.
• b = 0 ise x² = k biçimine getirilir: k > 0 için x = ±√k, k = 0 için x = 0, k < 0 için gerçek kök yoktur.
• c = 0 ise x(ax + b) = 0 → x = 0 veya x = −b/a.
• Tam kareye tamamlama: x² + 6x + 5 = 0 → (x + 3)² = 4 → x = −1 veya x = −5.

Δ = b² − 4ac

x₁,₂ = (−b ± √Δ) / (2a)