Sıralama ve Seçme: Permütasyon, Kombinasyon, Binom

Konu Özeti

Bu konuda bir kümenin elemanlarını farklı şekillerde dizmeyi ya da seçmeyi öğreneceksin. Sıra önemliyse permütasyon, önemli değilse kombinasyon kullanılır. Olayların kaç farklı şekilde gerçekleşebileceğini sayma yöntemleriyle bulacaksın. Pascal üçgeni ve binom açılımı, kombinasyon bilgisinin cebirdeki uygulamasıdır. TYT ve AYT'de sayma ve olasılık soruları bu bilgilere dayanır.

Temel Kavramlar

Toplama ve Çarpma Kuralı

• Toplama kuralı: A olayı m, B olayı n farklı şekilde gerçekleşiyor ve ikisi aynı anda olmuyorsa (veya ile bağlıysa) toplam m + n yoldur.
• Çarpma kuralı: İş ardışık iki aşamadan oluşuyor; birinci aşama m, ikinci aşama n yolla yapılıyorsa (ve ile bağlıysa) iş m · n yolla yapılır.
• Anahtar: veya gördüğünde topla, ve / sonra gördüğünde çarp.

Örnek: 3 farklı gömlek, 4 farklı pantolon varsa bir gömlek ve bir pantolon 3 · 4 = 12 şekilde seçilir. Bir gömlek veya bir pantolon seçmek ise 3 + 4 = 7 şekildedir.

Faktöriyel ve Permütasyon

n! = n · (n − 1) · … · 2 · 1, 0! = 1, 1! = 1

n çeşit nesneden r tanesinin sıralı dizilişine r'li permütasyon denir. Sıra önemlidir.

P(n, r) = n! / (n − r)! (0 ≤ r ≤ n)

n farklı nesnenin tamamının sıralanışı: P(n, n) = n!

• Yan yana durması istenen nesneleri tek bir blok say, sonra bloğun içini de sırala.
• Yan yana durmaması istenirse: toplam − yan yana durma sayısı.
• Belirli bir yere kısıt varsa önce kısıtlı yeri doldur.

Tekrarlı Permütasyon

n nesnenin içinde n1 tanesi aynı, n2 tanesi başka bir türde aynı, … ise farklı dizilişlerin sayısı şöyledir:

n! / (n1! · n2! · … · nk!)

Örnek: ANKARA kelimesinin harfleri 6 harftir; A üç kez geçer, diğerleri birer kez. Farklı dizilişler: 6! / 3! = 720 / 6 = 120.

Kombinasyon

n elemanlı bir kümenin r elemanlı alt kümelerinin sayısıdır. Seçimde sıra önemli değildir.

C(n, r) = n! / (r! · (n − r)!) (0 ≤ r ≤ n)

• C(n, 0) = C(n, n) = 1, C(n, 1) = n
• C(n, r) = C(n, n − r)
• C(n, r) = C(n, s) ise r = s veya r + s = n
• P(n, r) = C(n, r) · r!
• Bir kümenin alt küme sayısı 2ⁿ'dir (boş küme dahil).

Sık hata kontrolü: Sıra önemli mi? Başkan-yardımcı seçimi permütasyon, komite seçimi kombinasyondur.

Pascal Üçgeni

Pascal üçgeninde n. satır (n = 0'dan başlar) C(n, 0), C(n, 1), …, C(n, n) değerlerinden oluşur. Her sayı, üstündeki iki sayının toplamıdır.

C(n, r) + C(n, r + 1) = C(n + 1, r + 1)

Binom Açılımı

(x + y)ⁿ = C(n,0)xⁿ + C(n,1)xⁿ⁻¹y + C(n,2)xⁿ⁻²y² + … + C(n,n)yⁿ

• Açılımda n + 1 terim vardır.
• Her terimde x ve y kuvvetlerinin toplamı n'dir.
• Katsayılar Pascal üçgeninin n. satırıdır.
• (r + 1). terim: C(n, r) · xⁿ⁻ʳ · yʳ
• (x − y)ⁿ açılımında y yerine (−y) alınır, işaretler dönüşümlü olur.
• Katsayılar toplamı için değişkenlere 1 verilir: (x + y)ⁿ için 2ⁿ.

Çözümlü örnek: (x + 2)⁴ açılımında x² li terim r = 2 için C(4, 2) · x² · 2² = 6 · 4 · x² = 24x². Katsayılar toplamı (1 + 2)⁴ = 81.