Rasyonel Sayılar ve Ondalık Gösterim: Konu Notu

Konu Özeti

Bu konuda rasyonel sayıların ne olduğunu, sayı doğrusunda nasıl gösterildiğini ve nasıl sıralandığını öğreneceksiniz. Ondalık gösterimlerin sonlu ya da devirli olabileceğini ve bu sayıları kesre nasıl çevireceğinizi göreceksiniz. Son olarak rasyonel sayılarla çok adımlı işlemleri nasıl yapacağınızı çalışacaksınız. TYT'de bu bilgiler işlem becerisi ve sayı soruları için temel oluşturur.

Temel Kavramlar

a ve b tam sayı, b ≠ 0 olmak üzere a/b biçiminde yazılabilen sayılara rasyonel sayı denir. Rasyonel sayılar kümesi Q ile gösterilir. Tam sayılar da rasyoneldir; örneğin 5 = 5/1.

Q = { a/b : a, b ∈ Z, b ≠ 0 }

• Payı paydasından küçük olan kesre basit kesir denir: 3/5.
• Payı paydasından büyük veya eşit olan kesre bileşik kesir denir. Bu kesri tam sayılı biçimde de yazabiliriz: 7/4 = 1 3/4.
• Pay ve payda aynı sayıyla çarpılır ya da bölünürse kesrin değeri değişmez.
• Paydası negatif olan kesirde eksi işareti paya alınır: 3/(−5) = −3/5.

Sayı doğrusunda gösterme

• Sıfırın sağı pozitif, solu negatiftir.
• a/b sayısını göstermek için iki ardışık tam sayı arası paydası kadar eşit parçaya bölünür. Örneğin 7/4, 1 ile 2 arasında 1'den sonra 3. çizgidir (1 3/4).
• −2 1/3 = −7/3 sayısı −3 ile −2 arasındadır; −2'nin 1/3 solunda yer alır.

Sıralama

• Paydalar eşitse payı büyük olan daha büyüktür.
• Paylar eşitse (pozitif sayılarda) paydası küçük olan daha büyüktür.
• Genel durumda paydalar eşitlenir ya da çapraz çarpım yapılır: a/b < c/d ⇔ a·d < c·b (b, d > 0).
• Negatif sayılarda mutlak değeri büyük olan daha küçüktür: −2/3 < −1/2.

Ondalık Gösterim

Her rasyonel sayının ondalık gösterimi ya sonludur ya da devirlidir. Sadeleşmiş kesrin paydası yalnız 2 ve 5 asal çarpanlarını içeriyorsa gösterim sonludur. Başka asal çarpan varsa gösterim devirlidir.

Ondalık gösterimi kesre çevirme

• Sonlu: 0,125 = 125/1000 = 1/8.
• Basit devirli (virgülden hemen sonra devrediyor): 0,ab̅ = ab/99.
• Kesirli devirli (devretmeyen kısım var): (tüm sayı − devretmeyen kısım) / (devir kadar 9, devretmeyen kadar 0). Örneğin 0,16̅ = (16 − 1)/90 = 1/6.
• Örnek: 2,3̅ = 2 + 3/9 = 7/3.
• Not: 0,9̅ = 1 olur.

0,ababab... = ab/99 ; 0,abbb... = (ab − a)/90

Devirli ondalık sayılar rasyoneldir. Devirsiz ve sonsuz ondalık sayılar (π, √2 gibi) rasyonel değildir ve bunlara irrasyonel sayı denir.

Çok adımlı işlemler

• Toplama/çıkarma: Paydalar eşitlenir, paylar işlenir: a/c ± b/c = (a ± b)/c.
• Çarpma: (a/b)·(c/d) = ac/bd. Önce çapraz sadeleştirme yapılabilir.
• Bölme: Birinci kesir, ikincinin tersiyle çarpılır.
• İşlem sırası: Parantez, üslü ifadeler, çarpma/bölme (soldan sağa), toplama/çıkarma.
• Ondalık ve kesirli sayılar karışık verilirse hepsi aynı gösterime (genelde kesre) çevrilir.

(a/b) ÷ (c/d) = (a·d)/(b·c)

Çözümlü örnek: 1 / (1 + 1/(1 + 1/2)) = 3/5. En içten başlanır: 1 + 1/2 = 3/2, 1/(3/2) = 2/3, 1 + 2/3 = 5/3, 1/(5/3) = 3/5.

İpucu: Negatif işaretleri adım adım takip edin. Örneğin −(a/b) − (−c/d) = −a/b + c/d olur.