Koşullu Olasılık ve Bayes Teoremi (10. Sınıf)

Konu Özeti

Bu konuda bir olayın gerçekleşmesi, başka bir olayın gerçekleştiği bilgisine bağlı olarak yeniden değerlendirilir. Örnek uzay, bilinen koşula göre daralır. Bayes teoremi ise bir sonucun hangi nedenden geldiğini bulmamızı sağlar. Bu bölümde kavramları, formülleri ve örnekleri adım adım inceleyeceğiz.

Temel Kavramlar

B olayının gerçekleştiği bilindiğinde A olayının olasılığına, A olayının B koşuluna göre koşullu olasılığı denir. Bu durumda örnek uzay B'ye daralır ve yalnızca B içinde A'nın gerçekleştiği durumlara bakılır. Koşullu olasılık için P(B) ≠ 0 olmalıdır.

P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B), P(B) ≠ 0

Formülün iki tarafı P(B) ile çarpılırsa çarpma kuralı elde edilir. Bu kural, birbirine bağlı olayların birlikte gerçekleşme olasılığını bulmada kullanılır.

P(A ∩ B) = P(B) · P(A | B) = P(A) · P(B | A)

• A ve B bağımsızsa P(A | B) = P(A) olur ve P(A ∩ B) = P(A) · P(B) elde edilir.
• P(A | B) ile P(B | A) genellikle farklı değerlerdir.
• Her koşullu olasılık 0 ile 1 arasında bir değer alır: 0 ≤ P(A | B) ≤ 1.
• Koşulu belirlemek için 'bilindiğine göre', 'ise' gibi ifadelere dikkat edilir. Bilinen olay paydaya yazılır.

Temel Kavramlar

Bir deney birden fazla aşamalıysa, sonuç olayı ilk aşamadaki durumlara bağlıdır. A₁, A₂, ... ayrık ve örnek uzayı oluşturan olaylar olsun. Bu durumda B olayının olasılığı her durumun katkısının toplamıdır.

P(B) = P(A₁) · P(B | A₁) + P(A₂) · P(B | A₂) + ...

B gerçekleştiği bilindiğinde, bu sonucun A₁ aşamasından gelme olasılığı Bayes teoremiyle bulunur. Bayes teoremi, sonuca bakarak nedeni değerlendirmemizi sağlar.

P(A₁ | B) = P(A₁) · P(B | A₁) / [P(A₁) · P(B | A₁) + P(A₂) · P(B | A₂)]

Bayes teoremi kullanırken payda her zaman tüm kolların toplamıdır. Yalnızca istenen kolun olasılığı paydaya yazılmaz.