Analitik Geometri: Uzaklık, Bölen Nokta ve Doğru Denklemi

Konu Özeti

Analitik geometri, geometrik şekilleri koordinat sistemi üzerinde sayılarla inceler. Bu notta iki nokta arasındaki uzaklık, bir doğru parçasını belli oranda bölen nokta ve doğru denklemleri ele alınacak. Temel fikir Pisagor teoremini koordinatlara uygulamaktır. Konuyu kavramak için formülleri ezberlemekten çok nereden geldiklerini anlamak önemlidir.

Temel Kavramlar

Dik koordinat sisteminde A(x₁, y₁) ve B(x₂, y₂) noktaları arasındaki uzaklık, dik üçgende Pisagor teoreminden bulunur. Yatay ve düşey farklar dik kenarları oluşturur.

|AB| = √[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²]

• Bir noktanın orijine uzaklığı: |OA| = √(x₁² + y₁²).
• Aynı yatay doğru üzerindeki noktalarda uzaklık |x₂ − x₁| olur.
• Aynı düşey doğru üzerindeki noktalarda uzaklık |y₂ − y₁| olur.

AB doğru parçasının orta noktası M, koordinatların aritmetik ortalamasıdır.

M((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2)

C noktası [AB] üzerinde ve |AC| : |CB| = m : n ise C, AB'yi m : n oranında iç bölen noktadır.

C((n·x₁ + m·x₂)/(m + n), (n·y₁ + m·y₂)/(m + n))

Hatırlatma: A'nın koordinatı n ile, B'nin koordinatı m ile çarpılır. Sonucu |AC| ve |CB| uzunluklarıyla kontrol et.

Eğim ve doğru denklemleri: Bir doğrunun eğimi m = tan α'dır; α, doğrunun x ekseninin pozitif yönüyle yaptığı açıdır. Eğim, doğru üzerindeki iki noktadan bulunur.

m = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁), x₁ ≠ x₂

• x eksenine paralel doğruların eğimi 0'dır ve denklemi y = b biçimindedir.
• y eksenine paralel doğruların eğimi tanımsızdır ve denklemi x = a biçimindedir.
• Eğim pozitifse doğru soldan sağa yükselir, negatifse alçalır.
• ax + by + c = 0 doğrusunun eğimi m = −a/b (b ≠ 0) dır.