Dik Koordinat Sisteminde Noktanın Analitik İncelenmesi

Konu Özeti

Analitik geometride geometrik şekiller koordinatlarla cebirsel olarak incelenir. Bu konuda iki nokta arasındaki uzaklık, bir doğru parçasını belli oranda bölen nokta ve doğrunun eğimi ele alınır. Doğru denklemleri ve bir noktanın doğruya uzaklığı da bu konunun kapsamındadır. Bu bilgiler üçgen ve doğrularla ilgili birçok problemin temelidir.

Temel Kavramlar

Dik koordinat sisteminde A(x₁, y₁) ve B(x₂, y₂) noktaları arasındaki uzaklık, dik üçgende Pisagor bağıntısı ile bulunur.

|AB| = √[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²]

AB doğru parçasının orta noktası M, koordinatları uç noktaların koordinatlarının aritmetik ortalamasıdır.

M((x₁ + x₂)/2 , (y₁ + y₂)/2)

• Bir noktanın orijine uzaklığı: |OA| = √(x² + y²).
• Aynı yatay doğru üzerindeki iki noktanın uzaklığı |x₂ − x₁|, aynı düşey doğru üzerindekilerin uzaklığı |y₂ − y₁| dir.
• Üç noktanın oluşturduğu üçgenin kenarları bu formülle bulunur; kenarlar arasında Pisagor sağlanıyorsa üçgen diktir.

A(x₁, y₁) ve B(x₂, y₂) noktaları verilsin. C noktası [AB] üzerinde ve |AC| / |CB| = m / n ise C, doğru parçasını içten m : n oranında böler.

C((n·x₁ + m·x₂)/(m + n) , (n·y₁ + m·y₂)/(m + n))

İpucu: m = n ise C orta noktadır. Formülde x₁ ile n, x₂ ile m çarpılır; katsayılar çapraz eşleşir.

Üçgenin ağırlık merkezi G, köşe koordinatlarının aritmetik ortalamasıdır.

G((x₁ + x₂ + x₃)/3 , (y₁ + y₂ + y₃)/3)

Eğim: x eksenining pozitif yönüyle yaptığı açının tanjantına eğim denir. x₁ ≠ x₂ iken A(x₁, y₁) ve B(x₂, y₂) noktalarından geçen doğrunun eğimi aşağıdaki gibidir.

m = tan α = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁)

• x eksenine paralel doğruların eğimi 0, y eksenine paralel doğruların eğimi tanımsızdır.
• α dar açıysa eğim pozitif, geniş açıysa eğim negatiftir.
• Paralel doğruların eğimleri eşittir: m₁ = m₂.
• Dik doğruların eğimleri çarpımı −1 dir: m₁ · m₂ = −1.