Sayma Stratejileri: Toplama, Çarpma, Permütasyon ve Kombinasyon

Konu Özeti

Sayma stratejileri, bir olayın kaç farklı şekilde gerçekleşebileceğini tek tek yazmadan bulmamızı sağlar. Bu konuda toplama ve çarpma kuralları temel araçlardır. Sıranın önemli olup olmadığına göre permütasyon ya da kombinasyon kullanılır. Bu notta bu araçları adım adım örneklerle öğreneceksin.

Temel Kavramlar

Sayma işlemlerinde iki temel kural vardır. Hangisinin kullanılacağını, seçimlerin ayrık mı yoksa ardışık mı olduğuna bakarak anlarsın.

• Toplama kuralı: A ve B işleri aynı anda yapılamıyorsa (ya A ya B), A işi m, B işi n farklı yolla yapılabiliyorsa, A veya B işi m + n yolla yapılır.
• Çarpma kuralı: A işi m yolla yapıldıktan sonra B işi n yolla yapılıyorsa (ardışık seçimler), iki iş birlikte m · n yolla yapılır.
• Anahtar sözcükler: 'veya' genelde toplama, 've' ve ardışık seçimler ise çarpma ile ilişkilidir.

Örnek: 3 farklı gömlek ve 4 farklı pantolonla kaç farklı kombin yapılır? Gömlek ve pantolon birlikte seçildiği için çarpma kullanılır: 3 · 4 = 12. Yalnızca biri alınacaksa toplama kullanılır: 3 + 4 = 7.

Faktöriyel: n! = n · (n − 1) · (n − 2) · … · 2 · 1 ve 0! = 1 olarak tanımlanır. Örneğin 3! = 6, 4! = 24, 5! = 120 ve 6! = 720 tir. Ayrıca n! = n · (n − 1)! olduğundan 7!/5! = 7 · 6 = 42 gibi sadeleştirmeler yapılır.

n! = n · (n − 1) · … · 2 · 1, 0! = 1

Permütasyon (sıralama): n farklı elemanın r tanesinin sıralı dizilişine r'li permütasyon denir. Burada sıra önemlidir.

P(n, r) = n! / (n − r)! (0 ≤ r ≤ n)

• Tamamının sıralanışı: P(n, n) = n!
• Dairesel (çembersel) sıralama: n farklı elemanın bir çember etrafındaki dizilişi (n − 1)! tanedir.
• Tekrarlı permütasyon: n elemanın içinde aynı türden n₁, n₂, …, nₖ tane varsa dizilişler n! / (n₁! · n₂! · … · nₖ!) tanedir.
• Yan yana durması istenen elemanlar tek blok sayılır, sonra blok içi kendi arasında sıralanır.
• Yan yana durmaması istenen durumlarda: tüm durumlar − yan yana olan durumlar.

Kombinasyon (seçme): n farklı elemandan r tanesinin sırasız seçilmesine kombinasyon denir. Burada sıra önemli değildir; yalnızca hangi elemanların seçildiği önemlidir.

C(n, r) = n! / (r! · (n − r)!) (0 ≤ r ≤ n)

• C(n, 0) = C(n, n) = 1 ve C(n, 1) = n
• C(n, r) = C(n, n − r)
• C(n, r) = P(n, r) / r!
• Bir kümenin tüm alt kümelerinin sayısı 2ⁿ dir.