7. Sınıf Rasyonel Sayılar ve Farklı Temsilleri Konu Notu

Konu Özeti

Rasyonel sayılar, a/b biçiminde (b ≠ 0) yazılabilen tüm sayılardır. Tam sayılar, kesirler, ondalık sayılar ve yüzdeler aynı sayı ailesinin farklı görünümleridir. Bu konuda bu temsiller arasında geçiş yapmayı, sayıları karşılaştırıp sıralamayı ve günlük hayat problemlerini çözmeyi öğreneceksin.

Temel Kavramlar

• Doğal sayılar N = {0, 1, 2, 3, ...}; tam sayılar Z = {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}.
• a ve b tam sayı, b ≠ 0 olmak üzere a/b biçiminde yazılabilen sayılara rasyonel sayı denir; kümesi Q ile gösterilir.
• Her doğal sayı bir tam sayıdır, her tam sayı bir rasyonel sayıdır (5 = 5/1, -3 = -3/1).
• Payda 0 olamaz; a/0 tanımsızdır.
• Pay ve payda aynı sayıyla çarpılırsa ya da bölünürse (0 hariç) değer değişmez: 2/3 = 4/6.
• Eksi işareti paya, paydaya ya da kesrin önüne yazılabilir: -3/4 = 3/(-4) = -(3/4).
• Pay ile payda aralarında asal ise kesir en sade hâldedir.
• Pay paydasından küçükse basit kesir, pay paydaya eşit ya da büyükse bileşik kesirdir. Tam kısmı olan sayıya tam sayılı kesir denir: 2 1/3 = (2·3 + 1)/3 = 7/3.

Negatif sayılar günlük hayatta bir yönü gösterir. Sıfırın 3/4 derece altı -3/4 °C ile ifade edilir ve sayı doğrusunda sıfırın solunda yer alır.

Ondalık gösterim: Bir rasyonel sayının ondalık gösterimi, payın paydaya bölünmesiyle bulunur. Bölme sonunda sonuç üç biçimde çıkabilir.

• Paydası 10, 100, 1000 olan ya da bu hâle getirilebilen rasyonel sayılar sonlu ondalık gösterilir: 3/5 = 6/10 = 0,6.
• Ondalıktan kesre çevirme: 0,25 = 25/100 = 1/4.
• Devirli sayılarda tekrar eden kısma devir denir: 0,121212... = 0,12 üzerine çizgi (devri 12).
• Yüzde ilişkisi: 3/4 = 0,75 = %75.

Örnek: 7/8 ondalık olarak 7 ÷ 8 = 0,875 bulunur. Paydası 3, 6, 7, 9 gibi sayılar olan sadeleşmiş kesirler çoğunlukla devirli ondalık verir (örneğin 5/6 = 0,8333...).

Karşılaştırma ve sıralama: Pozitif rasyonel sayılar sıfırdan büyük, negatif rasyonel sayılar sıfırdan küçüktür. Her pozitif sayı her negatif sayıdan büyüktür.

• Paydalar eşitse payı büyük olan büyüktür: 5/9 > 2/9.
• Payları eşit pozitif kesirlerde paydası küçük olan büyüktür: 3/4 > 3/7.
• Paydalar farklıysa ortak payda bulunur, sonra paylar karşılaştırılır.
• Negatif sayılarda mutlak değeri büyük olan daha küçüktür: -3/4 < -2/4.

a/b < c/d ⇔ a·d < c·b (b > 0, d > 0)

İşlemler: Rasyonel sayılarda dört işlem, kesirlerdeki kurallarla yapılır.

• Toplama ve çıkarma: Paydalar eşitlenir, paylar işlem görür. 1/2 + 1/3 = 3/6 + 2/6 = 5/6.
• Çarpma: Paylar kendi arasında, paydalar kendi arasında çarpılır. (2/3)·(3/4) = 6/12 = 1/2.
• Bölme: Birinci kesir aynen yazılır, ikincinin tersi ile çarpılır. (2/3) ÷ (4/5) = (2/3)·(5/4) = 10/12 = 5/6.
• İşaret kuralı: Aynı işaretlilerin çarpımı ya da bölümü pozitif, farklı işaretlilerin negatiftir.
• İşlem önceliği: Önce parantez, sonra çarpma ve bölme, en son toplama ve çıkarma (soldan sağa).

a/b ÷ c/d = a/b · d/c (b, c, d ≠ 0)