7. Sınıf Rasyonel Sayılarla İşlemler ve Problem Çözme

Konu Özeti

Bu konuda doğal, tam ve rasyonel sayıların ne olduğunu öğreneceksin. Rasyonel sayıları kesir ve ondalık gösterimleriyle yorumlayıp sayı doğrusunda sıralamayı çalışacaksın. Son olarak rasyonel sayılarla dört işlem yapmayı ve bu işlemleri günlük yaşam problemlerinde kullanmayı göreceksin.

Temel Kavramlar

Doğal sayılar 0, 1, 2, ... sayılarıdır. Tam sayılar ise ... -2, -1, 0, 1, 2, ... şeklinde pozitif ve negatif tam sayıları da içerir. Rasyonel sayılar, a ve b tam sayı olmak üzere a/b biçiminde yazılabilen sayılardır.

Q = { a/b : a, b tam sayı, b ≠ 0 }

• Pay ve payda aynı işaretliyse rasyonel sayı pozitif, farklı işaretliyse negatiftir.
• Mutlak değeri 1'den küçük olan kesirler basit kesirdir; pay paydadan küçüktür.
• Her doğal ve tam sayı rasyonel sayıdır; örneğin 5 = 5/1 ve -3 = -3/1 yazılabilir.
• Günlük hayatta negatif rasyonel sayılar sıcaklık (-2,5 °C), deniz seviyesinin altı (-12,5 m) gibi durumları gösterir.

Örnek: -3/4 sayısını bir kuyunun dibine 3/4 birim inmek olarak düşünebilirsin. +3/4 ise aynı mesafe kadar yukarı çıkmaktır.

Ondalık Gösterim

Rasyonel bir sayının ondalık gösterimi, payın paydaya bölünmesiyle bulunur. Sonuç tam sayı, sonlu ondalık ya da devirli ondalık olabilir. Devirli ondalık sayılarda bir ya da birkaç basamak sonsuza kadar tekrar eder.

Ondalık Gösterimle İlgili Kurallar

• Paydası 10, 100 ya da 1000 olan kesirler doğrudan ondalık yazılır: 3/5 = 6/10 = 0,6.
• Ondalık sayıyı kesre çevirirken virgülden sonraki basamak sayısı kadar sıfır içeren payda kullanılır: 0,125 = 125/1000 = 1/8.
• Devirli ondalık sayılar da rasyonel sayıdır; bu sınıfta çoğunlukla bölme işlemiyle bulunur ve yuvarlamada kullanılır.
• Günlük hayatta 3/8 kg = 0,375 kg = 375 gram, 1/4 saat = 0,25 saat = 15 dakikadır.

Karşılaştırma ve Sıralama

• Paydaları eşit pozitif kesirlerde payı büyük olan büyüktür.
• Payları eşit pozitif kesirlerde paydası küçük olan büyüktür.
• Paydalar farklıysa kesirler eş paydaya getirilir ya da ondalık gösterime çevrilir.
• Pozitif rasyonel sayı her zaman negatif rasyonel sayıdan büyüktür.
• Negatif rasyonel sayılarda mutlak değeri büyük olan daha küçüktür: -3/4 < -1/2.
• Sayı doğrusunda sağdaki sayı soldakinden büyüktür.

Örnek: -2/3, 1/2, -3/4 ve 0 sayılarını küçükten büyüğe sıralayalım. Paydaları 12 yaparsak -2/3 = -8/12 ve -3/4 = -9/12 olur. Mutlak değeri büyük olan -9/12 daha küçüktür. Sıralama: -3/4 < -2/3 < 0 < 1/2.