Çemberin Analitik İncelenmesi: Denklem ve Doğru-Çember Durumları

Konu Özeti

Analitik düzlemde çember, merkezi ve yarıçapıyla belirlenen bir eğridir. Bu konuda çemberin denklemini kurmayı ve genel denklemden merkez ile yarıçapı bulmayı öğreneceksin. Ayrıca bir doğrunun çembere göre durumunu belirleyip teğet ve kiriş problemlerini çözeceksin. AYT'de bu konu hem denklem hem de doğru-çember ilişkisi sorularıyla karşına çıkar.

Temel Kavramlar

Düzlemde sabit bir M noktasına (merkez) uzaklığı sabit r > 0 olan noktaların kümesine çember denir. P(x, y) noktasının çember üzerinde olması için |MP| = r olmalıdır. Merkezi M(a, b) ve yarıçapı r olan çemberin standart denklemi şöyledir:

(x − a)² + (y − b)² = r²

Merkez orijinde, yani M(0, 0) ise denklem şu hale gelir:

x² + y² = r²

Genel Denklem

Standart denklem açıldığında x² + y² + Dx + Ey + F = 0 biçiminde genel denklem elde edilir. Genel denklemden merkez ve yarıçapı bulmak için x ve y terimleri tam kareye tamamlanır.

x² + y² + Dx + Ey + F = 0 → Merkez (−D/2, −E/2), r = √(D²/4 + E²/4 − F)

• x² ve y² nin katsayıları eşit olmalı (genelde 1 yapılır) ve xy terimi bulunmamalıdır.
• D²/4 + E²/4 − F > 0 ise gerçek bir çember vardır.
• D²/4 + E²/4 − F = 0 ise denklem tek bir noktayı (merkezi) gösterir.
• D²/4 + E²/4 − F < 0 ise denklemi sağlayan gerçek nokta yoktur.

Çember Denklemi Kurma Yolları

• Çapın uç noktaları A(x₁, y₁) ve B(x₂, y₂) ise merkez AB nin orta noktasıdır ve r = |AB| / 2 dir.
• Çap uçlu çemberin denklemi: (x − x₁)(x − x₂) + (y − y₁)(y − y₂) = 0.
• x eksenine teğet çemberde r = |b| dir (merkez M(a, b)).
• y eksenine teğet çemberde r = |a| dır.
• Her iki eksene teğet çemberde |a| = |b| = r olur.

Doğru ile Çemberin Durumları (12.7.1.2)

Merkezi M(a, b), yarıçapı r olan çember ile Ax + By + C = 0 doğrusu için önce merkezin doğruya uzaklığı d hesaplanır. Sonra d ile r karşılaştırılarak durum belirlenir.

d = |Aa + Bb + C| / √(A² + B²)

• d < r ise doğru çemberi iki noktada keser (kesen).
• d = r ise doğru çembere bir noktada teğettir.
• d > r ise doğrunun çemberle ortak noktası yoktur (dış).
• Cebirsel yöntem: doğru denkleminden y (ya da x) çekilip çember denkleminde yazılır. Oluşan ikinci dereceden denklemin diskriminantı Δ > 0 ise kesen, Δ = 0 ise teğet, Δ < 0 ise ortak nokta yoktur.
• Kesen durumda kiriş uzunluğu |AB| = 2√(r² − d²) dir.

Teğet Denklemi

Çember üzerindeki bir noktadaki teğet, o noktayı merkeze bağlayan yarıçapa diktir. Bu yüzden teğetin normali yarıçaptır. Çember üzerindeki P(x₁, y₁) noktasındaki teğetin denklemi şöyledir:

(x₁ − a)(x − a) + (y₁ − b)(y − b) = r²

Hızlı kontrol: x² + y² = 5 çemberinin (1, 2) noktasındaki teğeti 1·x + 2·y = 5, yani x + 2y − 5 = 0 dır. Nokta çember üzerindedir, çünkü 1² + 2² = 5 tir.